ανισότητα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Φεβ 21, 2020 7:15 pm

\displaystyle{a,b,c} θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι \displaystyle{a^ab^bc^c\ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3371
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Φεβ 22, 2020 12:49 am

R BORIS έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 7:15 pm
\displaystyle{a,b,c} θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι \displaystyle{a^ab^bc^c\ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}}
Παίρνοντας λογαρίθμους γράφεται

\displaystyle \sum a\ln a\geq \frac{1}{3}\sum a\sum \ln a(1)

επειδή τα a,b,c εχουν την ίδια διάταξη με τα \ln a,\ln b,\ln c

η (1) ισχύει.
(γνωστή ανισότητα)

https://www.researchgate.net/publicatio ... etic_means


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Φεβ 22, 2020 10:35 am

ΠΟΛΥ ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΗ ΥΠΟΔΕΙΞΗ
jensen στην \displaystyle{xlnx}
αφού λογαριθμίσουμε ΑΜ- ΓΜ
για μια 2η λυση


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1399
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Φεβ 22, 2020 8:10 pm

R BORIS έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 7:15 pm
\displaystyle{a,b,c} θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι \displaystyle{a^ab^bc^c\ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}}
Για να μην πάει η πρόταση με τον κανόνα Ντεκάρτ για "ψεύδο-πολυώνυμα" από εδώ χαμένη, ας δούμε μια λύση για την πιο ισχυρή ανισότητα

\displaystyle{ \left ( a^ab^bc^c \right ) ^{\frac{1}{a+b+c}}\geq \dfrac{a+b+c}{3}} \quad \bigstar

Η αρχική προκύπτει από την \bigstar και την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, αφού

\left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right )^{a+b+c} \geq  \left ( \left (abc \right )^{\frac{1}{3}} \right )^{a+b+c} = \left  (abc \right )^{\frac{a+b+c}{3}}}

Για την απόδειξη της \bigstar θεωρούμε το ψεύδο-πολυώνυμο

\displaystyle{ f(x) = \dfrac{a^x+b^x+c^x}{3} -\left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right)^x}.

Παρατηρούμε ότι έχει δυο αλλαγές προσήμου, άρα θα έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες. Εύκολα βλέπουμε ότι αυτές είναι οι x=0 και  x=1. Άρα άλλες ρίζες δεν υπάρχουν.

Επίσης παρατηρούμε ότι παίρνοντας όριο x τείνοντος στο άπειρο, η  f(x) παίρνει θετικές τιμές. Επομένως η f(x) είναι θετική στο διάστημα (-\infty , 0) αρνητική στο (0,1) και θετική στο (1, +\infty). Το πίνακα προσήμων μπορούμε να τον εξάγουμε και βρίσκοντας την τιμή της συνάρτησης σε ένα τρίτο σημείο, για παράδειγμα στο x=-1.

Άρα θα έχουμε f^{\prime}(1) \geq 0. Όμως

f^{\prime}(x) = \dfrac{a^{x} \ln a +b^{x} \ln b+c^{x} \ln c}{3} - \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right)^x \ln \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right) \Rightarrow

f^{\prime}(1) = \dfrac{a \ln a +b \ln b+c \ln c}{3} - \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right) \ln \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right) \geq 0

που είναι ισοδύναμη με τη \bigstar.


Υγ. Την τεχνική την δανείστηκα από το άρθρο του Γκορέλοβ "Απλά προβλήματα βελτιστοποίησης, Κανόνας Ντεκάρτ", όπου χρησιμοποιείται για την απόδειξη πληθώρας ανισοτήτων.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 22, 2020 8:32 pm

Ευκαιρία για μιαν απόδειξη της ανισότητας : Για του θετικούς

a,b,c και x,y,z , με : a\geq b\geq c και x\geq y\geq z ,

δείξτε ότι : ax+by+cz \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(x+y+z) .

Παρακαλώ : απόδειξη , όχι παραπομπή ή αναφορά ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 22, 2020 8:42 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 22, 2020 8:32 pm
Ευκαιρία για μιαν απόδειξη της ανισότητας : Για του θετικούς

a,b,c και x,y,z , με : a\geq b\geq c και x\geq y\geq z ,

δείξτε ότι : ax+by+cz \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(x+y+z) .
3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)= (a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x) ίσον θετικό ως άθροισμα τριών θετικών.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3371
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Φεβ 22, 2020 9:31 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 22, 2020 8:32 pm
Ευκαιρία για μιαν απόδειξη της ανισότητας : Για του θετικούς

a,b,c και x,y,z , με : a\geq b\geq c και x\geq y\geq z ,

δείξτε ότι : ax+by+cz \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(x+y+z) .

Παρακαλώ : απόδειξη , όχι παραπομπή ή αναφορά ...
Απόδειξη με αναφορά, για γενική περίπτωση.
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev ... inequality


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης