Αριθμητική πρόοδος

Tolaso J Kos · #1

Η ακολουθία $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ορίζεται ως:

$\displaystyle{\left | a_m + a_n - a_{m+n} \right | \leq \frac{1}{m+n} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; m, n \geq 1}$
Να δειχθεί ότι η $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ είναι αριθμητική πρόοδος.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 15, 2020 8:10 pm
Η ακολουθία $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ορίζεται ως:

$\displaystyle{\left | a_m + a_n - a_{m+n} \right | \leq \frac{1}{m+n} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; m, n \geq 1}$
Να δειχθεί ότι η $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ είναι αριθμητική πρόοδος.

Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι είναι η a_n=nc

, για κάποια σταθερά

.

#3

Για κάθε δύο φυσικούς n,N

ισχύουν τα

$\displaystyle |a_{N+1} - a_N - a_1| \leqslant \frac{1}{N+1} < \frac{1}{N}$

$\displaystyle |a_{N+2} - a_{N+1} - a_1| \leqslant \frac{1}{N+2} < \frac{1}{N}$
...
$\displaystyle |a_{N+n} - a_{N+n-1} - a_1| \leqslant \frac{1}{N+n-1} < \frac{1}{N}$

Προσθέτοντας και χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα έχουμε

$\displaystyle |a_{N+n}-a_N - na_1| < \frac{n}{N}$

Ισχύει όμως επίσης ότι $\displaystyle |a_n + a_N - a_{N+n}| \leqslant \frac{1}{N+n} < \frac{1}{N}$

Από τις τελευταίες δύο και την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε

$\displaystyle |a_n-na_1| < \frac{n+1}{N}$

Η τελευταία ισχύει για κάθε φυσικό

άρα (παίρνουμε όρια όταν $N \to \infty$ ) καταλήγουμε στο a_n = na_1

που δίνει το ζητούμενο ακόμη και στην κάπως ισχυρότερη μορφή που μας έδωσε ο Μιχάλης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 15, 2020 8:10 pm
Η ακολουθία $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ορίζεται ως:

$\displaystyle{\left | a_m + a_n - a_{m+n} \right | \leq \frac{1}{m+n} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; m, n \geq 1}$
Να δειχθεί ότι η $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ είναι αριθμητική πρόοδος.

Για να το δούμε και με τα ψέμματα.
Κρατώντας το

σταθερό και παίρνοντας $n\rightarrow \infty$
έχουμε
$\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+n}-a_{n})=a_{m}$ (1)
αλλά και
$\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+1+n}-a_{n})=a_{m+1}$ (2)
από (1),(2) είναι
$\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+1+n}-a_{n+m})=a_{m+1}-a_{m}$
Επειδή
$\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+1+n}-a_{n+m})=\lim_{k\rightarrow \infty }(a_{k+1}-a_{k})=a_{1}$
η μοναδικότητα του ορίου δίνει
$a_{m+1}=a_{m}+a_{1}$
που δείχνει το ζητούμενο

#5

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 61&t=28384

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση