Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Συντονιστής: emouroukos

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 586
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιαν 14, 2020 12:41 am

δείτε και εδώ

Μπορεί μια συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, περιοδική, συνεχής και μη σταθερή, να έχει περιόδους

A και B, χωρίς όμως να ισχύει B=kA με k \in \mathbb{\mathbb{Z}};



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2740
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 14, 2020 1:54 pm

Φυσικά.f(x)=\sin x
με περιόδους τις 18\pi,20\pi


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 586
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιαν 14, 2020 2:42 pm

Σωστά. Αντί για \mathbb{Z} ας βάλουμε \mathbb{Q} .


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Ιαν 14, 2020 3:46 pm

Μία σκέψη στα γρήγορα:

Έστω T_0=\inf\{T>0\mid f(x+T)=f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}\}. Επομένως, υπάρχει ακολουθία (T_n) περιόδων της f με T_n>T_0 και T_n\to T_0, οπότε, από τη συνέχεια της f, έχουμε ότι:

\displaystyle{f(x+T_0)=f(x+\lim T_n)=f(\lim(x+T_n))=\lim f(x+T_n)=\lim f(x)=f(x),}

άρα και η T_0 είναι περίοδος της f.

Αν, τώρα, T_0>0 και T είναι μία άλλη περίοδος της f τότε υπάρχει k_0\in\mathbb{N} με k_0T_0≤T<(k_0+1)T_0, οπότε 0\leq T-k_0T_0<T_0. Όμως, για κάθε x\in\mathbb{R} έχουμε:

\displaystyle{f(x)=f(x+T)=f(x+T-k_0T_0),}

και, επειδή Τ-k_0T_0<T_0, έπεται ότι T-k_0T_0=0, άρα T=k_0T_0 - αλλιώς θα είχαμε περίοδο μικρότερη της T_0, άτοπο.

Έτσι, αν A,B είναι δύο περίοδοι της f τότε θα υπάρχουν k_1,k_2\in\mathbb{N} με A=k_1T_0 και B=k_2T_0, άρα \frac{A}{B}=\frac{k_1}{k_2}\in\mathbb{Q}.

Έτσι, για να ισχύει το ζητούμενο είναι αναγκαίο να ισχύει ότι T_0=0, ή,ισοδύναμα, να υπάρχει ακολουθία T_n περιόδων της f τέτοια ώστε T_n\to0.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 251
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Ιαν 14, 2020 4:02 pm

Κάνω λάθος;
Έστω ότι υπάρχουν περίοδοι \alpha ,\beta ώστε \alpha /\beta \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}.
Τότε το σύνολο S=[n\alpha +m\beta /n,m\in \mathbb{Z}] είναι υποσύνολο του συνόλου των περιόδων της f.Επιπλέον είναι πυκνό στο \mathbb{R}:Εφόσον είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση/αφαίρεση,είναι γνωστό πως ή είναι πυκνό ή έχει ελάχιστο στοιχείο.(ας πούμε κατά απόλυτη τιμή).
Αν υποθέσουμε το δεύτερο,καταλήγουμε σε άτοπο διότι κάθε περίοδος θα διαιρούταν από την ελάχιστη περίοδο έστω t,δηλαδή το t θα ήταν ρητό πολλαπλάσιο των \alpha,\beta το οποίο δεν μπορεί να ισχύει καθώς τα \alpha,\beta είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στους ρητούς.
Η πυκνότητα του συνόλου περιόδων όμως δηλώνει πως η συνάρτηση είναι σταθερή καθώς f(x)=f(x+p_{n}) όπου το p_{n} μπορεί να τείνει σε/πάρει οποιαδήποτε τιμή.
τελευταία επεξεργασία από min## σε Τρί Ιαν 14, 2020 4:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Ιαν 14, 2020 4:03 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τρί Ιαν 14, 2020 2:42 pm
Σωστά. Αντί για \mathbb{Z} ας βάλουμε \mathbb{Q} .
Δεν υπάρχει τέτοια f, αν έχω δύο περιόδους A,B με \frac{A}{B} \in \mathbb{R} \setminus  \mathbb{Q} εύκολα με το Θεώρημα Kronecker, μπορώ να δείξω ότι είναι σταθερή.

Βλέπε: https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 18#p318218


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης