Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Είναι επαναφορά από το
viewtopic.php?f=56&t=3390
του Peter
Αλλαξα φάκελο γιατί η λύση που έχω είναι σε αυτόν

Άσκηση 1. Εξετάστε αν υπάρχει $f:(0,\infty)\to (0,\infty)$ με την ιδιότητα: $f(x+y)\geq f(y)+yf(f(x))$ για κάθε x,y>0

.

#2

Βάζω μια λύση χωρίς ανάλυση.

Παρατηρούμε αρχικά ότι η

είναι γνησίως αύξουσα αφού αν a > b > 0

τότε (με

) έχουμε

$\displaystyle f(a) \geqslant f(b) + bf(f(a-b)) > f(b)$

Ισχυρίζομαι επίσης ότι f(x) < x+1

για κάθε

. Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει x > 0

και $y \geqslant 1$ ώστε f(x) = x+y

. Τότε όμως είναι:

$\displaystyle f(x+y) \geqslant f(y) + yf(f(x)) = f(y) + yf(x+y) \geqslant f(y) + f(x+y) > f(x+y)$

άτοπο.

Ισχυρίζομαι τώρα ότι $f(n) \geqslant f(1) + \binom{n}{2}f(f(1))$ . Αυτό αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά αφού είναι αληθές για n=1

και στο επαγωγικό βήμα παίρνουμε:

$\displaystyle \displaystyle{f(k+1) = f(1+k) \geqslant f(k) + kf(f(1)) \geqslant f(1) + \binom{k}{2}f(f(1)) + kf(f(1)) = f(1) + \binom{k+1}{2}f(f(1))}$

Τότε όμως για

αρκετά μεγάλο θα έχουμε $\displaystyle f(n) > \binom{n}{2} f(f(1)) > n+1$

το οποίο είναι άτοπο. (Δευτεροβάθμια στο

με θετικό συντελεστή του n^2

.)

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για να την δούμε με Ανάλυση.
Εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Από την
$\displaystyle f(x+y)\geq yf(f(x))$
για $y\rightarrow \infty$
παίρνουμε
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$

Για y=x

παίρνουμε
$\displaystyle f(2x)\geq xf(f(x))\Rightarrow \frac{f(2x)}{x}\geq f(f(x))$
Αρα
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(2x)}{x}=\infty$

Υπάρχει c>0

ωστε
$\displaystyle x> c\Rightarrow f(2x)> 10x$
η
$\displaystyle x> 2c\Rightarrow f(x)> 5x$
οπότε
$\displaystyle x>2 c\Rightarrow f(f(x))> f(5x)$

Η αρχική για y=1

και

δίνει

$\displaystyle f(x+1)\geq f(1)+f(f(x))> f(5x)> f(x+1)$

ΑΤΟΠΟ.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Την είχα κάνει από προχτές αλλά απέφυγα να γράψω τη λύση λόγω όγκου.

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 10, 2019 2:30 pm

Παρατηρούμε αρχικά ότι η είναι γνησίως αύξουσα αφού αν τότε (με ) έχουμε

$\displaystyle f(a) \geqslant f(b) + bf(f(a-b)) > f(b)$

Ισχυρίζομαι επίσης ότι για κάθε . Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει και $y \geqslant 1$ ώστε . Τότε όμως είναι:

$\displaystyle f(x+y) \geqslant f(y) + yf(f(x)) = f(y) + yf(x+y) \geqslant f(y) + f(x+y) > f(x+y)$

άτοπο.

Μέχρι εδώ τα ίδια. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ (το όριο υπάρχει από μονοτονία).

Αυτό γιατί αν υποθέσουμε ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l\in R$ θα είναι (

σταθερό)

$\lim_{y\rightarrow +\infty}\left (f(x+y) - f(y) \right ) \geq \lim_{y\rightarrow +\infty} yf(f(x)) \Rightarrow 0\geq +\infty$ (άτοπο).

Άμεσα λοιπόν έχουμε $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(f(x))=+\infty.$ Για τυχόν K>0

θα υπάρχει

M>0

ώστε $x>M \Rightarrow f(f(x))>K$ .

Οι

και $f\circ f$ είναι ολοκληρώσιμες ως μονότονες οπότε για z,x>M

έχουμε

$\displaystyle \int_{M}^{z}f(x+y)-f(y)dy\geq \int_{M}^{z}yf(f(x))dy$

$\Rightarrow \left (f(z+x)-f(M) \right )\left (z-M \right )> \dfrac{K}{2}(z^2-M^2)$

$\Rightarrow f(z+x)\geq\dfrac{K}{2}(z+M)+f(M) \overset{u=z+x}{\Rightarrow}f(u)> \dfrac{K}{2}u+c$

το οποίο αντιφάσκει με την f(x) < x+1

για κάθε

αν πάρουμε K>2

και

αρκετά μεγάλο.

Τελικά δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

#5

3 ΟΜΟΡΦΕΣ! αποδείξεις

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Μέλη σε σύνδεση