Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3225
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 08, 2019 4:47 pm

Είναι επαναφορά από το
viewtopic.php?f=56&t=3390
του Peter
Αλλαξα φάκελο γιατί η λύση που έχω είναι σε αυτόν

Άσκηση 1. Εξετάστε αν υπάρχει f:(0,\infty)\to (0,\infty) με την ιδιότητα: f(x+y)\geq f(y)+yf(f(x)) για κάθε x,y>0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Δεκ 10, 2019 2:30 pm

Βάζω μια λύση χωρίς ανάλυση.

Παρατηρούμε αρχικά ότι η f είναι γνησίως αύξουσα αφού αν a > b > 0 τότε (με x = a-b,y=b) έχουμε

\displaystyle  f(a) \geqslant f(b) + bf(f(a-b)) > f(b)

Ισχυρίζομαι επίσης ότι f(x) < x+1 για κάθε x > 0. Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει x > 0 και y \geqslant 1 ώστε f(x) = x+y. Τότε όμως είναι:

\displaystyle  f(x+y) \geqslant f(y) + yf(f(x)) = f(y) + yf(x+y) \geqslant f(y) + f(x+y) > f(x+y)

άτοπο.

Ισχυρίζομαι τώρα ότι f(n) \geqslant f(1) + \binom{n}{2}f(f(1)). Αυτό αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά αφού είναι αληθές για n=1 και στο επαγωγικό βήμα παίρνουμε:

\displaystyle  \displaystyle{f(k+1) = f(1+k) \geqslant f(k) + kf(f(1)) \geqslant f(1) + \binom{k}{2}f(f(1)) + kf(f(1)) = f(1) + \binom{k+1}{2}f(f(1))}

Τότε όμως για n αρκετά μεγάλο θα έχουμε \displaystyle  f(n) > \binom{n}{2} f(f(1)) > n+1

το οποίο είναι άτοπο. (Δευτεροβάθμια στο n με θετικό συντελεστή του n^2.)

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3225
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Δεκ 10, 2019 9:34 pm

Για να την δούμε με Ανάλυση.
Εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Από την
\displaystyle  f(x+y)\geq yf(f(x))
για y\rightarrow \infty
παίρνουμε
\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty

Για y=x παίρνουμε
\displaystyle f(2x)\geq xf(f(x))\Rightarrow \frac{f(2x)}{x}\geq f(f(x))
Αρα
\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(2x)}{x}=\infty

Υπάρχει c>0 ωστε
\displaystyle x> c\Rightarrow f(2x)> 10x
η
\displaystyle x> 2c\Rightarrow f(x)> 5x
οπότε
\displaystyle x>2 c\Rightarrow f(f(x))> f(5x)

Η αρχική για y=1 και x> 2c δίνει

\displaystyle f(x+1)\geq f(1)+f(f(x))> f(5x)> f(x+1)

ΑΤΟΠΟ.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 722
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Δεκ 10, 2019 10:05 pm

Την είχα κάνει από προχτές αλλά απέφυγα να γράψω τη λύση λόγω όγκου.

Demetres έγραψε:
Τρί Δεκ 10, 2019 2:30 pm

Παρατηρούμε αρχικά ότι η f είναι γνησίως αύξουσα αφού αν a > b > 0 τότε (με x = a-b,y=b) έχουμε

\displaystyle  f(a) \geqslant f(b) + bf(f(a-b)) > f(b)

Ισχυρίζομαι επίσης ότι f(x) < x+1 για κάθε x > 0. Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει x > 0 και y \geqslant 1 ώστε f(x) = x+y. Τότε όμως είναι:

\displaystyle  f(x+y) \geqslant f(y) + yf(f(x)) = f(y) + yf(x+y) \geqslant f(y) + f(x+y) > f(x+y)

άτοπο.
Μέχρι εδώ τα ίδια. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty (το όριο υπάρχει από μονοτονία).

Αυτό γιατί αν υποθέσουμε ότι \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l\in R θα είναι (x σταθερό)

\lim_{y\rightarrow +\infty}\left (f(x+y) - f(y) \right ) \geq \lim_{y\rightarrow +\infty} yf(f(x)) \Rightarrow 0\geq +\infty (άτοπο).

Άμεσα λοιπόν έχουμε \lim_{x\rightarrow +\infty} f(f(x))=+\infty. Για τυχόν K>0 θα υπάρχει

M>0 ώστε x>M \Rightarrow f(f(x))>K.

Οι f και f\circ f είναι ολοκληρώσιμες ως μονότονες οπότε για z,x>M έχουμε

\displaystyle \int_{M}^{z}f(x+y)-f(y)dy\geq \int_{M}^{z}yf(f(x))dy

\Rightarrow \left (f(z+x)-f(M) \right )\left (z-M \right )> \dfrac{K}{2}(z^2-M^2)

\Rightarrow f(z+x)\geq\dfrac{K}{2}(z+M)+f(M) \overset{u=z+x}{\Rightarrow}f(u)>  \dfrac{K}{2}u+c

το οποίο αντιφάσκει με την f(x) < x+1 για κάθε x > 0 αν πάρουμε K>2 και z αρκετά μεγάλο.

Τελικά δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2237
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Δεκ 12, 2019 9:28 am

3 ΟΜΟΡΦΕΣ! αποδείξεις


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης