Συναρτησιακή και συναρτήσεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η συναρτησιακή σχέση

$f^{3}(x)-3f(x)+x=0$ (*)

1)Δείξτε ότι υπάρχει
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
που ικανοποιεί την (*)

2))Δείξτε ότι δεν υπάρχει
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
που ικανοποιεί την (*)
και επιπλέον
$f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

3)Δείξτε ότι δεν υπάρχει
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
που ικανοποιεί την (*)
και επιπλέον είναι συνεχής.

4)Δείξτε ότι υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις

$f_{1}:(-\infty ,2]\rightarrow \mathbb{R}$

$f_{2}:[-2 ,2]\rightarrow \mathbb{R}$

$f_{3}:[-2,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

που ικανοποιούν την (*)

5)Δείξτε ότι οι παραπάνω συναρτήσεις δεν είναι παραγωγίσιμες στα άκρα των διαστημάτων
ενώ είναι στα εσωτερικά σημεία.

Σημείωση.Οι αποδείξεις μπορούν να γίνουν και με σχολική ύλη

Συμπλήρωμα.
Διόρθωσα τυπογραφικό.Ευχαριστώ τον KARKAR που το επεσήμανε.

#2

1.H $\displaystyle{g(y)=y^3-3y+x}$ είναι πολυώνυμο 3ου βαθμού άρα έχει μια πραγματική ή ρίζα $\displaystyle{y=f(x)}$

2. $\displaystyle{(y-1)^2(y+2)=2-x,(y+1)^2(y-2)=-2-x}$ αφού $\displaystyle{f(R)=R}$ υπαρχει $\displaystyle{x:y=1}$ τότε $\displaystyle{x=2}$ ατοπο από την 2η ισότητα

3. $\displaystyle{(y_1-y_2)(y_1^2+y_2^2+y_1y_2-3)=x_2-x_1}$ όπου $\displaystyle{y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)}$ Η $\displaystyle{ y}$ είναι συνεχής και ευκολα 1-1 αρα γνήσια μονότονη οπότε ο λόγος μεταβολής θα επρεπε να εχει σταθερό πρόσημο ομως το τριωνυμο $\displaystyle{ y_1^2+y_2^2+y_1y_2-3 }$ εχει $\displaystyle{\Delta =-3(y_2^2-4)>0}$ για κάποια χ ατοπο

Τα υπολοιπα αργότερα

#3

4.To $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f_1}$ υπαρχει διοτι είναι συνεχής και 1-1 αρα μονότονη

δεν μπορει το οριο αυτό να είναι κάποιο Α διοτι τότε $\displaystyle{A^3-3A=+\infty}$

δεν είναι το $\displaystyle{-\infty}$ γιατί για $\displaystyle{x<2}$ έχουμε $\displaystyle{y>-2}$ οπότε $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f_1=+\infty}}$

Αναλογα για την $\displaystyle{f_3}$

Aπο Cardano βρίσκουμε τις λύσεις της αρχικής εξίσωσης $\displaystyle{y=u+1/u}$ , $\displaystyle{u=\sqrt[3]{\frac{2}{x-\sqrt{x^2-4}}}}$
άρα κι τα $\displaystyle{f(2)=-2,f(-2)=2}$

Mε τρία ΘΒ στην $\displaystyle{ g(t)=t^3-3t+x}$ τελειώσαμε

#4

ΛΑΘΟΣ κατάλαβα την εκφώνηση Θεώρησα δεδομένη την συνεχεια των 3ων f ΣΥΓΝΩΜΗ

#5

4.Από το 2 είναι $\displaystyle{(y^2-1)^2(y^2-4)=x^2-4}$

AN $\displaystyle{x>2}$ ή $\displaystyle{x<-2}$ θα είναι $\displaystyle{y^2-4>0}$ αρα $\displaystyle{\Delta <0}$ οπότε στά $\displaystyle{D_1,D_3}$ το τριώνυμο είναι θετικό συνεπώς η y είναι φθίνουσα αφού ο λόγος μεταβολής είναι $\displaystyle{<0}$

ακόμη η $\displaystyle{y=f_1}$ παίρνει ολες τις τιμές του $\displaystyle{[-2,\infty)}$ γιατί αλλιώς θα υπήρχε $\displaystyle{x<2:y<-2}$ άτοπο από την 1η ισότητα του 2

τότε $\displaystyle{f_1}$ συνεχής ανάλογα και η $\displaystyle{f_3}$

Αφού $\displaystyle{D_2}$ υποσύνολο και του $\displaystyle{D_1}$ και του $\displaystyle{D_3}$ παίρνουμε τον περιορισμό

της $\displaystyle{f_1}$ στο $\displaystyle{[-2,2]}$

Συναρτησιακή και συναρτήσεις

Συναρτησιακή και συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή και συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή και συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή και συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή και συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση