Πολυώνυμο

Συντονιστής: emouroukos

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 517
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Οκτ 20, 2019 2:07 pm

Έστω τριτοβάθμιο πολυώνυμο P(x) και a,b,c πραγματικές ρίζες του με a<b<c.

To Θ.Rolle μας εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας \xi της παραγώγου στο

(a,b). Να δείξετε ότι η ρίζα αυτή βρίσκεται πλησιέστερα στο a από το b.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2674
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Οκτ 20, 2019 8:54 pm

Εξαιρετικό πρόβλημα για Γ' Λυκείου (στο δικό μου σύμπαν εννοώ), καθώς υπόκειται σε πειραματική πρόβλεψη (πχ για την (x-1)(x-2)(x-3) το ζητούμενο είναι ισοδύναμο προς την ισχύουσα 3 < 2\sqrt{3}) αλλά και σχηματική πρόγνωση (η τριτοβάθμια ανεβαίνει πιο γρήγορα κοντά στο a απ' ότι πέφτει κοντά στο b, άρα το τοπικό μέγιστο 'αναμένεται' ΠΡΙΝ από το \dfrac{a+b}{2}) :D

Για την αυστηρή και γενική απόδειξη τώρα -- που ζητάμε από τους καλύτερους -- θεωρούμε το γενικό τριτοβάθμιο πολυώνυμο x^3+px^2+qx+r, τέτοιο ώστε a^3+pa^2+qa+r=b^3+pb^2+qb+r=0, και αποδεικνύουμε ότι 3\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2+2p\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+q<0: με αφαίρεση κατά μέλη οι πρώτες δύο ισότητες δίνουν p(a+b)+q=-a^2-b^2-ab, και με αντικατάσταση της τελευταίας προκύπτει η ζητούμενη 3\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2+2p\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+q=-\dfrac{(a-b)^2}{4}<0.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 21, 2019 11:08 am

Το πολυώνυμο θα είναι της μορφής f(x) = C(x-a)(x-b)(x-c) για κάποιο C \neq 0. Τότε \displaystyle  f'(x) = C[(x-b)(x-c) + (x-a)(x-c) + (x-a)(x-b)]. Το C δεν επηρεάζει τις ρίζες του f' οπότε μπορούμε να υποθέσουμε C=1. Τότε f'(a) = (a-b)(a-c) > 0. Αφού η μια ρίζα είναι στο (a,b) και η άλλη στο (b,c) αρκεί να δείξουμε ότι f'((a+b)/2) < 0. Όμως:

\displaystyle  f' \left( \tfrac{a+b}{2}\right) = \frac{1}{4}\left[(a-b)(a+b-2c) + (b-a)(a+b-2c) + (b-a)(a-b) \right] = -\frac{(a-b)^2}{4} < 0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες