Παράγουσα

Συντονιστής: emouroukos

Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 78
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Παράγουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Πέμ Οκτ 03, 2019 1:31 pm

Έστω f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(x)\geq0 για κάθε x\in\mathbb{R} και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της f που δεν είναι της μορφής \displaystyle \int_a^xf(t)dt.
τελευταία επεξεργασία από Μάρκος Βασίλης σε Παρ Οκτ 04, 2019 10:19 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παράγουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:53 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 1:31 pm
Έστω f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε f(x)\geq0 για κάθε x\in\mathbb{R} και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της f που δεν είναι της μορφής \displaystyle \int_a^xf(t)dt.
Υπάρχουν αρκετά θέματα σε σχέση με την εκφώνηση.

1)Τι σημαίνει για μια f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ότι είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση;
Το επισημαίνω γιατί παρακάτω αναφέρεται ότι
τουλάχιστον ένα εκ των:

\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt

υπάρχει και είναι πεπερασμένο.

2)Με τις προυποθέσεις που ισχύουν για την f
μπορεί να μην υπάρχει καμία παράγουσα της f


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 78
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Παράγουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Παρ Οκτ 04, 2019 10:19 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:53 pm
Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 1:31 pm
Έστω f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε f(x)\geq0 για κάθε x\in\mathbb{R} και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της f που δεν είναι της μορφής \displaystyle \int_a^xf(t)dt.
Υπάρχουν αρκετά θέματα σε σχέση με την εκφώνηση.

1)Τι σημαίνει για μια f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ότι είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση;
Το επισημαίνω γιατί παρακάτω αναφέρεται ότι
τουλάχιστον ένα εκ των:

\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt

υπάρχει και είναι πεπερασμένο.

2)Με τις προυποθέσεις που ισχύουν για την f
μπορεί να μην υπάρχει καμία παράγουσα της f
Έχετε δίκιο, είναι πλημμελώς γραμμένη η εκφώνηση. Την τροποποίησα κατάλληλα. Ευχαριστώ!


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παράγουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 08, 2019 4:09 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 1:31 pm
Έστω f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(x)\geq0 για κάθε x\in\mathbb{R} και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της f που δεν είναι της μορφής \displaystyle \int_a^xf(t)dt.
Ολες οι παράγουσες της f έχουν την μορφή

\displaystyle F(x)=c+\int_0^{x} f(t)dt,

Ας υποθέσουμε ότι είναι
\displaystyle \ \int_{-\infty}^0f(t)dt=A\in \mathbb{R}

Εστω
\displaystyle F(x)=c+\int_0^{x} f(t)dt=\int_{a}^{x}f(t)dt

τότε
\displaystyle c=\int_{a}^{0}f(t)dt(1)

Επειδή A\geq 0

αν πάρουμε c=A+11

η (1) δεν μπορεί να ισχύει για κανένα a

Όμοια αντιμετοπίζεται και η άλλη περίπτωση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης