Σαν l'Hopital
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Σαν l'Hopital
Έστω συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο με στο διάστημα αυτό και
πραγματικός ή άπειρο.
Να δείξετε ότι πραγματικός ή άπειρο ανεξάρτητα από το αν αυτό είναι
απροσδιόριστη μορφή ή όχι.
πραγματικός ή άπειρο.
Να δείξετε ότι πραγματικός ή άπειρο ανεξάρτητα από το αν αυτό είναι
απροσδιόριστη μορφή ή όχι.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Σαν l'Hopital
Ωραίο πρόβλημα. Έκανα κάποιες πρόχειρες σκέψεις για μία ειδική περίπτωση, αλλά πρώτα ας παρουσιάσω το γενικό μου σκεπτικό.
Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι (εφ' όσον η έχει θετική παράγωγο, θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα το όριό της στο 0 θα υπάρχει - είτε αριθμός είτε .):
Έστω τώρα ότι το είναι πεπερασμένο και έστω και , οπότε υπάρχει ένα τέτοιο ώστε για κάθε :
Διαδοχικά, έχουμε, για κάποιο :
Σε αυτό το σημείο θεωρούμε ένα (χωρίς βλάβη της γενικότητας, ), τέτοιο ώστε για κάθε τα να είναι ομόσημα (αν τότε θα έχουμε ). Διαιρούμε τώρα την παραπάνω ανισότητα με οπότε, αν η φορά αλλάζει ενώ στην αντίθετη περίπτωση η φορά παραμένει ίδια.
Εδώ, θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση όπου , οπότε η φορά δεν θα αλλάζει: Τώρα, έπεται ότι:
επομένως θα υπάρχει ένα τέτοιο ώστε:
και έτσι, τελικά έχουμε:
από όπου έπεται το ζητούμενο.
Για τη γενική περίπτωση, φαντάζομαι, εφ' όσον τα όρια:
υπάρχουν, απλώς δεν είναι ίσα, θα χρειάζεται κάποιο τέχνασμα (κάποια προσθαφαίρεση, π.χ. του αριθμητικού τους μέσου ή κάτι τέτοιο) για να έρθουμε στην προηγούμενη κατάσταση.
Θα το ξανασκεφτώ και αύριο με καθαρότερο μυαλό.
Ελπίζω να βοήθησε κάπως!
Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι (εφ' όσον η έχει θετική παράγωγο, θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα το όριό της στο 0 θα υπάρχει - είτε αριθμός είτε .):
Έστω τώρα ότι το είναι πεπερασμένο και έστω και , οπότε υπάρχει ένα τέτοιο ώστε για κάθε :
Διαδοχικά, έχουμε, για κάποιο :
Σε αυτό το σημείο θεωρούμε ένα (χωρίς βλάβη της γενικότητας, ), τέτοιο ώστε για κάθε τα να είναι ομόσημα (αν τότε θα έχουμε ). Διαιρούμε τώρα την παραπάνω ανισότητα με οπότε, αν η φορά αλλάζει ενώ στην αντίθετη περίπτωση η φορά παραμένει ίδια.
Εδώ, θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση όπου , οπότε η φορά δεν θα αλλάζει: Τώρα, έπεται ότι:
επομένως θα υπάρχει ένα τέτοιο ώστε:
και έτσι, τελικά έχουμε:
από όπου έπεται το ζητούμενο.
Για τη γενική περίπτωση, φαντάζομαι, εφ' όσον τα όρια:
υπάρχουν, απλώς δεν είναι ίσα, θα χρειάζεται κάποιο τέχνασμα (κάποια προσθαφαίρεση, π.χ. του αριθμητικού τους μέσου ή κάτι τέτοιο) για να έρθουμε στην προηγούμενη κατάσταση.
Θα το ξανασκεφτώ και αύριο με καθαρότερο μυαλό.
Ελπίζω να βοήθησε κάπως!
τελευταία επεξεργασία από Μάρκος Βασίλης σε Τρί Σεπ 10, 2019 5:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σαν l'Hopital
Ωραία πρόταση.Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 01, 2019 4:41 pmΈστω συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο με στο διάστημα αυτό και
πραγματικός ή άπειρο.
Να δείξετε ότι πραγματικός ή άπειρο ανεξάρτητα από το αν αυτό είναι
απροσδιόριστη μορφή ή όχι.
Θεωρώ γνωστά τα εξής:
1)Αν η είναι μονότονη συνάρτηση τότε το
υπάρχει.
2)Αν
με
και
τότε και
3)Αν
με
τότε η το
θα υπάρχει η θα έχουμε απροσδιόριστη μορφή.
Είναι φανερό λόγω του 1) ότι το
υπάρχει
Εστω .
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
(αλλιώς παίρνουμε την )
Αν τότε κοντά στο .
Λόγω του 1) το υπάρχει και λόγω του 3)τελειώσαμε.
Εστω ότι .
Αν
λόγω του 2) τελειώσαμε.
Εστω
με (*)
Για δύο ακολουθίες ,
θετικών όρων
με
το γενικευμένο θεώρημα μεσης τιμής δίνει
(**)
με .
Αλλά λόγω της (*) οπότε η( **)
δίνει ότι
Από το τελευταίο συμπεραίνουμε ότι το
υπάρχει.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σαν l'Hopital
Στην αρχή νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό.Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 01, 2019 8:43 pmΩραίο πρόβλημα. Έκανα κάποιες πρόχειρες σκέψεις για μία ειδική περίπτωση, αλλά πρώτα ας παρουσιάσω το γενικό μου σκεπτικό.
Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι (εφ' όσον η έχει θετική παράγωγο, θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα το όριό της στο 0 θα υπάρχει - είτε αριθμός είτε .):
Έστω τώρα ότι το είναι πεπερασμένο και έστω και , οπότε υπάρχει ένα τέτοιο ώστε για κάθε :
Διαδοχικά, έχουμε, για κάποιο :
Σε αυτό το σημείο θεωρούμε ένα (χωρίς βλάβη της γενικότητας, ), τέτοιο ώστε για κάθε τα να είναι ομόσημα (αν τότε θα έχουμε ). Διαιρούμε τώρα την παραπάνω ανισότητα με οπότε, αν η φορά αλλάζει ενώ στην αντίθετη περίπτωση η φορά παραμένει ίδια.
Εδώ, θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση όπου , οπότε η φορά δεν θα αλλάζει: Τώρα, έπεται ότι:
επομένως θα υπάρχει ένα τέτοιο ώστε:
και έτσι, τελικά έχουμε:
από όπου έπεται το ζητούμενο.
Για τη γενική περίπτωση, φαντάζομαι, εφ' όσον τα όρια:
υπάρχουν, απλώς δεν είναι ίσα, θα χρειάζεται κάποιο τέχνασμα (κάποια προσθαφαίρεση, π.χ. του αριθμητικού τους μέσου ή κάτι τέτοιο) για να έρθουμε στην προηγούμενη κατάσταση.
Θα το ξανασκεφτώ και αύριο με καθαρότερο μυαλό.
Ελπίζω να βοήθησε κάπως!
Αντί
νομίζω πως θέλει
Στην ουσία .
Δεν μας δίνεται ότι οι παράγωγοι είναι ολοκληρώσιμες.
Βέβαια αυτά που έχεις γράψει ισχύουν παίρνοντας ολοκλήρωμα Lebesgue
η εφαρμόζοντας γενικευμένο μέσης τιμής.
Εκείνο που δεν βλέπω είναι από που προκύπτει το
εκτός αν εννοείς μόνο για την περίπτωση που
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Σαν l'Hopital
Πράγματι, στην αρχή έχω ξεχάσει του τόνους (ευχαριστώ για την επισήμανση!). Επίσης, έχετε δίκιο, έπρεπε να είχα επισημάνει ότι δε μιλάμε κατ' ανάγκη για Riemann ολοκλήρωμα. Τέλος, το τελευταίο μέρος αναφέρεται μόνον στην περίπτωση του .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Σεπ 10, 2019 12:35 pm
Στην αρχή νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό.
Αντί
νομίζω πως θέλει
Στην ουσία .
Δεν μας δίνεται ότι οι παράγωγοι είναι ολοκληρώσιμες.
Βέβαια αυτά που έχεις γράψει ισχύουν παίρνοντας ολοκλήρωμα Lebesgue
η εφαρμόζοντας γενικευμένο μέσης τιμής.
Εκείνο που δεν βλέπω είναι από που προκύπτει το
εκτός αν εννοείς μόνο για την περίπτωση που
Πρακτικά, όταν η παραπάνω πρόταση είναι η «γενίκευση» του λήμματος Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, εξ ου και οι ομοιότητες στις δύο αποδείξεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σαν l'Hopital
Επειδή εγώ δεν γνωρίζω το λήμμα Stolz-Cesaro θα γράψω πώς προκύπτει η ανισότητα σουΜάρκος Βασίλης έγραψε: ↑Τρί Σεπ 10, 2019 5:41 pm
Πρακτικά, όταν η παραπάνω πρόταση είναι η «γενίκευση» του λήμματος Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, εξ ου και οι ομοιότητες στις δύο αποδείξεις.
όταν
Κάνω την δεξια .
Από γενικευμένο θεώρημα μέσης τιμής για είναι
με πράξεις και επειδή προκύπτει ότι
που είναι το ίδιο με αυτό που εβγαλες χωρίς να ολοκληρώσουμε η να χρησιμοποιήσουμε
το άγνωστο σε εμένα Stolz-Cesaro.
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Σαν l'Hopital
Έξυπνο αυτό (άλλωστε, ο τίτλος παραπέμπει στον l' Hospital, του οποίου οι κανόνες αποδεικνύονται με το ΘΜΤ του Cauchy). Το λήμμα Stolz-Cesaro λέει το εξής:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Σεπ 10, 2019 6:19 pmΕπειδή εγώ δεν γνωρίζω το λήμμα Stolz-Cesaro θα γράψω πώς προκύπτει η ανισότητα σουΜάρκος Βασίλης έγραψε: ↑Τρί Σεπ 10, 2019 5:41 pm
Πρακτικά, όταν η παραπάνω πρόταση είναι η «γενίκευση» του λήμματος Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, εξ ου και οι ομοιότητες στις δύο αποδείξεις.
όταν
Κάνω την δεξια .
Από γενικευμένο θεώρημα μέσης τιμής για είναι
με πράξεις και επειδή προκύπτει ότι
που είναι το ίδιο με αυτό που εβγαλες χωρίς να ολοκληρώσουμε η να χρησιμοποιήσουμε
το άγνωστο σε εμένα Stolz-Cesaro.
Έστω ακολουθίες με την αποκλίνουσα και γνησίως μονότονη και έστω ότι το ακόλουθο όριο υπάρχει:
Τότε έχουμε ότι:
Πρακτικά, για στην άσκησή μας έχουμε το Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, αν σκεφτούμε ότι η «παράγωγος» μιας ακολουθίας σε όρους ρυθμού μεταβολής θα μπορούσε να είναι:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες