Με παράμετρο

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις $f, g: [0,1] \rightarrow R$ με f_a(x)=1-x^a

και

όπου $a\in (1,+\infty).$

(1) Να δείξετε ότι οι εξισώσεις f_a(x)=x,g_a(x)=x

έχουν μοναδική λύση στο (0,1)

για κάθε

(2) Αν με x_1(a),x_2(a)

συμβολίσουμε τις ρίζες των f_a(x)=x

και

αντίστοιχα

να αποδείξετε ότι $\lim_{a\rightarrow +\infty}\left (x_1(a)-x_2(a) \right )=1.$

#2

$f_a(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{ln(1-x)}{lnx}=a$
Ορίζουμε $k(x)=\dfrac{ln(1-x)}{lnx},x\in\left ( 0,1 \right ).$
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα με $k(\left ( 0,1 \right ))=\left ( 0,+\infty \right ).$
Ορίζεται η αντίστροφή της και είναι συνεχής. Επομένως $\displaystyle{\lim_{a\rightarrow +\infty}k^{-1}(a)=1}$
Επίσης k(x_1(a))=a

οπότε $x_1(a)=k^{-1}(a).$
Ομοίως $x_2(a)=1-k^{-1}(a).$
Άρα $\displaystyle{\lim_{a\rightarrow +\infty}\left (x_1(a)-x_2(a) \right )=\lim_{a\rightarrow +\infty}\left (2k^{-1}(a)-1 \right )=1.}$

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:56 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις $f, g: [0,1] \rightarrow R$ με και όπου $a\in (1,+\infty).$

(1) Να δείξετε ότι οι εξισώσεις έχουν μοναδική λύση στο για κάθε

(2) Αν με συμβολίσουμε τις ρίζες των και αντίστοιχα

να αποδείξετε ότι $\lim_{a\rightarrow +\infty}\left (x_1(a)-x_2(a) \right )=1.$

Αλλιώς.

Παραγωγίζοντας τις $F_a(x)=1-x^a-x, \, G_a(x)=(1-x)^a-x,$ , εύκολα βλέπουμε ότι έχουν αρνητική παράγωγο στο (0,1)

, οπότε έχουν το πολύ μία ρίζα εκάστη. Επίσης αλλάζουν πρόσημο από x=0

στο

, άρα έχουν τουλάχιστον μία ρίζα. Αυτό δείχνει το α) ερώτημα.

Για το β) θα δείξουμε την βελτιωμένη εκδοχή ότι $\displaystyle{\lim_{a\rightarrow +\infty}x_1(a)=1}$ και $\displaystyle{\lim_{a\rightarrow +\infty}x_2(a)=0}$ . Επίσης θα δείξουμε ότι ισχύει x_1(a)=1-x_2(a)

για κάθε $a\in (1,\infty)$ .

‘Εστω $\epsilon >0$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι για μεγάλα

είναι $0<x_2(a) < \epsilon$ . Πράγματι, αφού $(1-\epsilon )^a}\to 0$ καθώς $a\to \infty$ , από κάποιο σημείο και πέρα είναι $G_a(\epsilon)=(1-\epsilon) ^a-\epsilon <0$ . Για τα ίδια αυτά

είναι

$\displaystyle{G_a(x_2)=0 > G_a(\epsilon )}$ και άρα (αφού G_a

φθίνουσα), είναι $x_2(a) < \epsilon$ , όπως θέλαμε.

Για το x_1(a)

εργαζόμαστε όμοια ή, ακόμα καλύτερα, έχουμε x_1=1-x_2

. Πραγματικά

f_a(1-x_2)= 1-(1-x_2)^a= 1- x_2

δηλαδή το

είναι η (μοναδική) ρίζα της f_a(x)=x

. Με άλλα λόγια 1-x_2=x_1

, όπως θέλαμε

Με παράμετρο

Με παράμετρο

Re: Με παράμετρο

Re: Με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση