Υπάρχει m

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Υπάρχει m

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιουν 16, 2019 9:56 am

Έστω a_1, a_2, \dots , a_n θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει 1 \leq m \leq n -1 με την ιδιότητα:

\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11508
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπάρχει m

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 16, 2019 12:02 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιουν 16, 2019 9:56 am
Έστω a_1, a_2, \dots , a_n θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει 1 \leq m \leq n -1 με την ιδιότητα:

\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}
Ίσως υπάρχει ευκολότερος τρόπος αλλά δεν το βλέπω. Σημειώνω όμως ότι δεν βλέπω γιατί το θέμα είναι στον φάκελο της Ανάλυσης μια και δεν φαίνεται να σχετίζεται. Στο θέμα μας:

Αν ισχύει a_1-(a_2+...+a_n) > 0, τελειώσαμε (με m=1) γιατί τότε

|a_1-(a_2+...+a_n) | =a_1-(a_2+...+a_n) \le a_1 \le \max  a_k.

Ομοίως τελειώσαμε αν a_1+a_2+...+a_{n-1}- a_n < 0 γιατί τότε

|a_1+a_2+...+a_{n-1}- a_n | = a_n -(a_1+a_2+...+a_{n-1}) \le  a_n  \le \max a_k.

Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι a_1-(a_2+...+a_n) \le   0  \le  a_1+a_2+...+a_{n-1}- a_n .

Άρα υπάρχει δείκτης m έτσι ώστε για πρώτη φορά ισχύει

a_1+a_2+...+a_m -( a_{m+1}+... +a_n) \le 0 \le a_1+a_2+...+a_{m+1} -( a_{m+2}+... +a_n)

Είναι τότε

|a_1+a_2+...+a_m -( a_{m+1}+... +a_n)|+| a_1+a_2+...+a_{m+1} -( a_{m+2}+... +a_n)|=

-(a_1+a_2+...+a_m)+( a_{m+1}+... +a_n) + (a_1+a_2+...+a_{m+1} )-( a_{m+2}+... +a_n) = 2a_{m+1}

Με άλλα λόγια έχουμε μία κατάσταση της μορφής A+B\le 2a_{m+1}. Έπεται ότι τουλάχιστον ένας από τους A,B είναι \le a_{m+1}, όπως θέλαμε.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Υπάρχει m

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Ιουν 16, 2019 1:01 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιουν 16, 2019 9:56 am
Έστω a_1, a_2, \dots , a_n θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει 1 \leq m \leq n -1 με την ιδιότητα:

\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}
Είναι η άσκηση 37 του πρώτου κεφαλαίου .https://eclass.uoa.gr/modules/document/ ... kiseis.pdf


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης