Έχετε δίκιο, με συγχωρείτε, απο κεκτημένη ταχύτητα έκανα λάθος στο ρήμα "ανήκει" . Για την συμπάγεια ενός μετρικού χώρου μας δόθηκαν δύο ορισμοί:
1. Ένας μετρικός χώρος
λέγεται ακολουθιακά συμπαγής αν κάθε ακολουθία
στο
έχει υπακολουθία
που συγκλίνει σε κάποιο
.
Eπιπλέον αν
υποσύνολο του
λεμε οτι το Κ είναι ακολουθιακά συμπαγές αν για κάθε
στο K υπάρχει
2. Ένας μετρικός χώρος
λέγεται συμπαγής αν: Για κάθε ανοιχτή κάλυψη
του
μπορούμε να βρούμε πεπερασμένη υποκάλυψη
(δηλαδή υπάρχουν i_1, ... , i_N τέτοια ώστε
)
Ομοίως το
υποσύνολο του
λέγεται συμπαγές αν για κάθε οικογένεια
ανοιχτων συνόλων με
υπάρχουν πεπερασμένοι δείκτες
τέτοια ώστε
Σκέφτηκα φυσικά και τον τρόπο να δείξω οτι ειναι κλειστό και φραγμένο. Το φραγμένο φαίνεται απο τον ορισμό του συνόλου Κ. Μένει να δείξουμε οτι ειναι και κλειστό. Για να δείξω οτι ειναι κλειστό πρέπει να δείξω οτι κάθε ακολουθία μέσα στο Κ θα συγκλίνει μέσα στο Κ. Προφανώς δεν μπορώ να τις πάρω όλες, οπότε φαντάστηκα οτι θα χρειάζεται κάποιας μορφής με άτοπο. Αλλά δεν ήξερα πως να το δημιουργήσω το άτοπο.
Ετσι λοιπόν σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω και τον 2ο ορισμό. Ο 2ος ορισμός όμως δεν μου λέει αν η οικογένεια ανοιχτών συνόλων
είναι υποσύνολο του
ή του
Στο ερώτημα 1) πράγματι, αφοπλίζει τελείως το επιχείρημά μου... έχω κολήσει !
Όσον αφορά τον αστερίσκο [*]
Το Κ μπορώ να το καλύψω με μία οικογένεια ανοιχτών μπαλών μέσα και έξω απο το Κ