Ένα όριο!

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4000
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ένα όριο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιουν 05, 2019 8:28 pm

Με αφορμή το θέμα εδώ...


Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln x \ln \left(1+x^2 \right) \mathrm{arccot}x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
redsmall
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 06, 2013 7:09 pm

Re: Ένα όριο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από redsmall » Πέμ Ιουν 06, 2019 8:54 pm

lim┬(x→∞)⁡ln⁡x ln⁡(x^2+1)arccot⁡(x) (1)
Είναι ln⁡(x^2+1)= ln⁡(1+1/x^2 )+ln⁡(x^2 ) (2)
lim┬(x→∞)⁡ln⁡(1+1/x^2 ) = 0 (3)
Η (1) κατόπιν των (2) και (3) γράφεται
lim┬(x→∞)⁡ln⁡x ln⁡(x^2 ) arccot⁡(x)=lim┬(x→∞)⁡〖2 ln⁡〖x ln⁡〖x arccot⁡(x) 〗 〗 〗=2 lim┬(x→∞)⁡〖(〖ln⁡〖x)〗〗^2 arccot⁡(x)=2*0=0〗


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιουν 07, 2019 12:22 am

Ας παραβλέψουμε τον εκτρωματικό συμβολισμό.

Υπάρχουν διάφορα άλλα κακώς κείμενα στον συλλογισμό. Π.χ. το γεγονός εδώ
redsmall έγραψε:
Πέμ Ιουν 06, 2019 8:54 pm
2 lim┬(x→∞)⁡〖(〖ln⁡〖x)〗〗^2 arccot⁡(x)=2*0=0〗
ότι πολλαπλασιάζουμε μία συνάρτηση, την (\ln (x))^2, που τείνει στο άπειρο με μία που τείνει στο 0, την arc \cot x,
δεν μας επιτρέπει να βγάλουμε τόσο αβίαστα το συμπέρασμα ότι το γινόμενο τείνει στο 0.

Νομίζω ότι το σημείο αυτό (και άλλα) χρειάζονται εξήγηση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιουν 07, 2019 9:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιουν 05, 2019 8:28 pm
Με αφορμή το θέμα εδώ...


Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln x \ln \left(1+x^2 \right) \mathrm{arccot}x }
Για να κλείνει ώστε να μην αιωρούνται τα πολλά λάθη (ιδίως για τον Φάκελο του Καθηγητή) της προηγούμενης απόπειρας.

Από τις x^2\le 1+x^2\le x^4 (για μεγάλα x), η δοθείσα είναι ανάμεσα στις \displaystyle{2 \left( \ln x \right)^ 2\mathrm{arccot}x } και \displaystyle{4 \left( \ln x \right)^ 2\mathrm{arccot}x }. Θα δούμε με l' Hospital ότι οι δύο αυτές παραστάσεις (οι οποίες είναι πολλαπλάσιο η μια της άλλης) τείνουν στο 0, οπότε το ίδιο ισχύει και γα την δοθείσα.

Είναι

\displaystyle{ \left( \ln x \right)^ 2\mathrm{arccot}x = \dfrac {\mathrm{arccot}x }{  \left( \ln x \right)^{-2}}=  \dfrac {-\dfrac {1}{1+x^2 }}{ -2 \left( \ln x \right)^{-3} \cdot \dfrac  {1}{x}} = \dfrac {1} {2}\dfrac {x^2}{1+x^2 }  \dfrac { \left( \ln x \right)^{3}}{x}} }

Όμως \displaystyle{\lim _{x\to \infty } \dfrac {x^2}{1+x^2 }=1} και \displaystyle{\lim _{x\to \infty } \dfrac { \left( \ln x \right)^{3}}{x}}= \lim _{y\to \infty } \dfrac { y^{3}}{e^y}}= 0}.

Και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιουν 08, 2019 12:05 am

Ας δούμε και έναν δεύτερο τρόπο απόδειξης του \displaystyle{\lim _{x\to \infty } \left( \ln x \right)^ 2\mathrm{arccot}x =0.

Από την ανισότητα y\le \tan y στο πρώτο τεταρτημόριο έχουμε \mathrm{arctan y} \le y. Άρα για x=1/y έχουμε

\displaystyle{0\le \lim _{x\to \infty } \left( \ln x \right)^ 2\mathrm{arccot}x   = \lim _{x\to \infty } \left( \ln x  \right)^ 2\mathrm{arctan \frac {1}{x}  } =  \lim _{y\to 0+ } \left( \ln \frac {1}{y}  \right)^ 2\mathrm{arctan y} \le \lim _{y\to 0+ } \left(\ln y  \right)^ 2 y}=0}

από όπου το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες