Δίχως παραγώγους

#1

Καλημέρα σε όλους.

Θα ήθελα τη γνώμη σας για δύο σχετικά ερωτήματα:

(1) Αν υπάρχει μια απλή απόδειξη της ανισότητας $\displaystyle \frac{{x - \ln x}}{{x + \ln x}} \ge \frac{{e - 1}}{{e + 1}}$ για κάθε x > 1

, με το ίσον όταν x = e

, ΔΙΧΩΣ τη χρήση παραγώγων.

Έχω μία προσέγγιση αλλά έχει αρκετούς μετασχηματισμούς (οδηγεί στην $x^e \le e^x$ ).

(2) Αν ζητούσαμε απλώς την εύρεση του ελαχίστου της παράστασης $\displaystyle \frac{{x - \ln x}}{{x + \ln x}}$ για κάθε x > 1

, θα ήταν εφικτή ΔΙΧΩΣ τη χρήση παραγώγων;

Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον ασχοληθεί.

#2

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2019 9:16 am
Καλημέρα σε όλους.

Θα ήθελα τη γνώμη σας για δύο σχετικά ερωτήματα:

(1) Αν υπάρχει μια απλή απόδειξη της ανισότητας $\displaystyle \frac{{x - \ln x}}{{x + \ln x}} \ge \frac{{e - 1}}{{e + 1}}$ για κάθε , με το ίσον όταν , ΔΙΧΩΣ τη χρήση παραγώγων.

Έχω μία προσέγγιση αλλά έχει αρκετούς μετασχηματισμούς (οδηγεί στην $x^e \le e^x$ ).

(2) Αν ζητούσαμε απλώς την εύρεση του ελαχίστου της παράστασης $\displaystyle \frac{{x - \ln x}}{{x + \ln x}}$ για κάθε , θα ήταν εφικτή ΔΙΧΩΣ τη χρήση παραγώγων;

Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον ασχοληθεί.

Για το α) βιαστικά γιατί πάω να ψηφίσω (17 χιλιόμετρα από εδώ):

Δεν χρειάζονται πολλοί μετασχηματισμοί για να φτάσουμε στην ισοδύναμη $x^e \le e^x$ . Απλά πολλαπλασιάζουμε χιαστί. Τώρα, η τελευταία γράφεται $\displaystyle{ e^{\frac {x}{e}-1} \ge \dfrac {x}{e}}$ , ισοδύναμα $e^y\ge y+1$ , που ισχύει. Το τελευταίο βγαίνει βέβαια με παραγώγους αλλά μπορούμε και χωρίς, ανάλογα τι επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε ως γνωστό. Π.χ. από Bernoulli έχουμε $\displaystyle{ e^y= \lim \left ( 1+ \frac {y}{n}\right ) ^n \ge \lim \left ( 1+ n\frac {y}{n}\right ) =1+y}$ .

Για το β) νομίζω ότι ανάγεται στο α). Περισσότερα καθ' οδόν προς το εκλογικό Τμήμα (θα οδηγάει η σύζυγος).

Δίχως παραγώγους

Δίχως παραγώγους

Re: Δίχως παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση