Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Λάμπρος Μπαλός · #1

Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Δευ Απρ 08, 2019 4:23 pm
Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}$

Το ${\phi}$
τι είναι;

Tolaso J Kos · #3

Υποθέτω ο χρυσός λόγος !!

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:.

Λάμπρος Μπαλός · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 08, 2019 5:19 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Δευ Απρ 08, 2019 4:23 pm
Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}$
Το ${\phi}$
τι είναι;

Είναι η χρυσή τομή.

Λάμπρος Μπαλός · #5

Μία επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Δευ Απρ 08, 2019 4:23 pm
Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}$

Δεν μπορώ να καταλάβω τι ρόλο παίζει το ${\phi}$

Θα γράψω το ολοκλήρωμα σε μια μορφή από την οποία θα μπορούμε
να το προσεγγίσουμε από πάνω και από κάτω όσο καλά θέλουμε.

$\displaystyle J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx$

Είναι
$\displaystyle J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}(-\ln \cos x)'dx=\frac{1}{2}e^{\frac{\pi }{4}}\ln 2+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\ln \cos x dx=\frac{1}{2}e^{\frac{\pi }{4}}\ln 2+I$

Το

μπορούμε να το προσεγγίσουμε όσο καλά θέλουμε χρησιμοποιώντας την σειρά του
λογαρίθμου.

Για το θέμα μας χρειαζόμαστε την σχολική

$\ln x \leq x-1$

Ετσι είναι

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\ln \cos x dx\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x} (\cos x -1) dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x} \cos x dx-(e^{\frac{\pi }{4}}-1)$
$=K-(e^{\frac{\pi }{4}}-1)$

Εύκολα υπολογίζουμε ότι

$\displaystyle K=\frac{1}{2}(e^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{2}-1)$

και τελικά

$\displaystyle J \leq \frac{1}{2}+e^{\frac{\pi }{4}}(\frac{\ln 2 +\sqrt{2}}{2}-1)<\frac{1}{\phi }$

Οπού για την τελευταία ανισότητα χρειάζεται να κάνουμε τις ανάλογες προσεγγίσεις.

(χρειάζονται τέσσερα δεκαδικά ψηφία)

Λάμπρος Μπαλός · #7

Χαίρετε και καλό μήνα. Ευχαριστώ πολύ για τη λύση.
Θα γράψω το βράδυ και τη δικιά μου, η οποία στην ουσία αποδεικνύει το $I^{2}+I<1$ γι'αυτό και το $\frac{1}{\phi}$ .

Η λύση

$I= \int_{0}^{\frac{\pi} {4}} e^{x} tanxdx = \int_{0}^{\frac{\pi} {4}}tan(lne^{x} )e^{x}dx= \int_{1}^{e^{\frac{\pi}{4}}}tan(lny)dy=$

$\int_{1}^{e^{\frac{\pi}{4}}}y'tan(lny)dy=[ytan(lny)]_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}-\int_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}[tan^{2}(lny) +1]dy=$

$e^{\frac{\pi} {4}}-\int_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}tan^{2}(lny) dy-e^{\frac{\pi} {4}}+1$

Αρα,

$\int_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}tan^{2}(lny)dy=1-I$

Από C-S προκύπτει

$1-I>I^{2} \Rightarrow I< \frac{1}{\phi}$ .

#8

Πολύ έξυπνο και πολύ όμορφο, αν και είχα σκεφθεί και την '(αν)ισότητα της χρυσής τομής' και την ανισότητα Cauchy-Schwartz ... δεν το κατάφερα (κυρίως επειδή δεν σκέφθηκα την αντικατάσταση e^x=y

)!

Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση