Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Δευ Απρ 08, 2019 4:23 pm

Να αποδείξετε ότι

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 08, 2019 5:19 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 4:23 pm
Να αποδείξετε ότι

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}
Το  {\phi}
τι είναι;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3998
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 08, 2019 5:40 pm

Υποθέτω ο χρυσός λόγος !!
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Δευ Απρ 08, 2019 9:12 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 5:19 pm
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 4:23 pm
Να αποδείξετε ότι

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}
Το  {\phi}
τι είναι;
Είναι η χρυσή τομή.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Δευ Απρ 29, 2019 8:17 pm

Μία επαναφορά.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 01, 2019 2:04 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 4:23 pm
Να αποδείξετε ότι

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx < \frac{1}{\phi}
Δεν μπορώ να καταλάβω τι ρόλο παίζει το {\phi}

Θα γράψω το ολοκλήρωμα σε μια μορφή από την οποία θα μπορούμε
να το προσεγγίσουμε από πάνω και από κάτω όσο καλά θέλουμε.

 \displaystyle J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}tanxdx

Είναι
\displaystyle J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}(-\ln \cos x)'dx=\frac{1}{2}e^{\frac{\pi }{4}}\ln 2+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\ln \cos x dx=\frac{1}{2}e^{\frac{\pi }{4}}\ln 2+I

Το I μπορούμε να το προσεγγίσουμε όσο καλά θέλουμε χρησιμοποιώντας την σειρά του
λογαρίθμου.

Για το θέμα μας χρειαζόμαστε την σχολική

\ln x \leq x-1

Ετσι είναι

\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\ln \cos x dx\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x} (\cos x -1) dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x} \cos x dx-(e^{\frac{\pi }{4}}-1)
=K-(e^{\frac{\pi }{4}}-1)

Εύκολα υπολογίζουμε ότι

\displaystyle K=\frac{1}{2}(e^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{2}-1)

και τελικά

\displaystyle J \leq \frac{1}{2}+e^{\frac{\pi }{4}}(\frac{\ln 2 +\sqrt{2}}{2}-1)<\frac{1}{\phi }

Οπού για την τελευταία ανισότητα χρειάζεται να κάνουμε τις ανάλογες προσεγγίσεις.

(χρειάζονται τέσσερα δεκαδικά ψηφία)


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Μάιος 01, 2019 4:39 pm

Χαίρετε και καλό μήνα. Ευχαριστώ πολύ για τη λύση.
Θα γράψω το βράδυ και τη δικιά μου, η οποία στην ουσία αποδεικνύει το I^{2}+I<1 γι'αυτό και το \frac{1}{\phi} .

Η λύση

I= \int_{0}^{\frac{\pi} {4}} e^{x} tanxdx = \int_{0}^{\frac{\pi} {4}}tan(lne^{x} )e^{x}dx= \int_{1}^{e^{\frac{\pi}{4}}}tan(lny)dy=

 \int_{1}^{e^{\frac{\pi}{4}}}y'tan(lny)dy=[ytan(lny)]_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}-\int_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}[tan^{2}(lny) +1]dy=

e^{\frac{\pi} {4}}-\int_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}tan^{2}(lny) dy-e^{\frac{\pi} {4}}+1

Αρα,

\int_{1}^{e^{\frac{\pi} {4}}}tan^{2}(lny)dy=1-I

Από C-S προκύπτει

1-I>I^{2} \Rightarrow I< \frac{1}{\phi} .


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2667
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα - Ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Μάιος 02, 2019 11:45 am

Πολύ έξυπνο και πολύ όμορφο, αν και είχα σκεφθεί και την '(αν)ισότητα της χρυσής τομής' και την ανισότητα Cauchy-Schwartz ... δεν το κατάφερα (κυρίως επειδή δεν σκέφθηκα την αντικατάσταση e^x=y)!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες