Εύρεση συναρτήσεων

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2642
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Εύρεση συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 03, 2019 4:22 pm

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσημες συναρτήσεις

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

που ικανοποιούν την σχέση

2f(x)=x(1+f'(x))



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6172
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εύρεση συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Απρ 03, 2019 5:01 pm

Είναι \displaystyle{f(0)=0.}

Στο \displaystyle{(0,+\infty)} είναι \displaystyle{f'(x)=\frac{2f(x)-x}{x}}, άρα η \displaystyle{f} είναι δις και τρις παραραγωγίσιμη,οπότε από την αρχική έχουμε

\displaystyle{2f'(x)=1+f'(x)+xf''(x)\implies f'(x)=1+xf''(x)\implies f''(x)=f''(x)+xf'''(x)\implies f'''(x)=0~~\forall x>0.}

Επομένως είναι \displaystyle{f(x)=ax^2+bx~~\forall x>0.}

Ομοίως εργαζόμενοι στο \displaystyle{(-\infty ,0)} βρίσκουμε \displaystyle{f(x)=cx^2+dx~~\forall x<0.}

Με αντικατάσταση στην αρχική βρίσκουμε \displaystyle{b=d=1.} Άρα

\displaystyle{f(x)=\begin{cases} ax^2+x,~~if~~x\geq 0, \\ cx^2+x,~~if~~ x<0 \end{cases}}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης