Από ανισότητες σε ανισότητα
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Από ανισότητες σε ανισότητα
Έστω μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Αν και για κάθε ,
δείξτε ότι για κάθε .
Αν και για κάθε ,
δείξτε ότι για κάθε .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Από ανισότητες σε ανισότητα
Αποσείρω την λυσημου λόγω σοβαρού σφάλματος που μου υπέδειξε ο Σταύρος
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Τρί Φεβ 12, 2019 1:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από ανισότητες σε ανισότητα
Η πρώτη ισότητα δεν ισχύει εν γένει.
Επίσης δεν βλέπω πως χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι
.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από ανισότητες σε ανισότητα
Επαναφορά.
Γνωρίζω δύο λύσεις.
Η μια είναι με σχολική ύλη αλλά σε καμία περίπτωση στο πνεύμα του σχολείου.
Η βασική παρατήρηση και για τις δύο είναι :
Αν θέσουμε
τότε
Θα την αφήσω κάποιες μέρες και μετά θα βάλω τις λύσεις.
Γνωρίζω δύο λύσεις.
Η μια είναι με σχολική ύλη αλλά σε καμία περίπτωση στο πνεύμα του σχολείου.
Η βασική παρατήρηση και για τις δύο είναι :
Αν θέσουμε
τότε
Θα την αφήσω κάποιες μέρες και μετά θα βάλω τις λύσεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από ανισότητες σε ανισότητα
Θέτουμε
εχουμε ότι
Αρα
Συμπεραίνουμε ότι
Αρα στα τοπικά μέγιστα η έχει τιμή μικρότερη η ίση του
Λύση με θεωρία σχολικού βιβλίου.
Εστω ότι υπάρχει με
Θα είναι
Η ιδέα είναι ότι η παράγωγος κοντά στα άπειρα παίρνει οσο μικρές τιμές θέλουμε
Εφαρμόζω ΘΜΤ στο διάστημα
Υπάρχει
ώστε
Τελικά υπάρχει με
Ομοια μπορούμε να βρούμε με .
Θεωρούμε την στο κλειστό
Είναι
Αλλά στο η σαν συνεχής παίρνει μέγιστη τιμή που λόγω
της προηγούμενης είναι σε σημείο έστω
Τότε όμως δηλαδή
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Αρα για κάθε είναι
Με ύλη εκτός σχολικού.(περιγραφή)
Θεωρούμε το σύνολο που αποτελείται από τους πραγματικούς στους οποίους η έχει τοπικό μέγιστο.
Αν το δεν είναι ανω και κάτω φραγμένο το αποτέλεσμα έπεται.
Αν το είναι άνω φραγμένο τότε από κάπου και πέρα η θα είναι μονότονη.
Αρα θα υπάρχει το
Αν το αποτέλεσμα έπεται.
Αν τότε από κάπου και πέρα θα είναι
που βγάζει ΑΤΟΠΟ λόγω της .
'Ομοια δουλεύουμε αν το είναι κάτω φραγμένο.
εχουμε ότι
Αρα
Συμπεραίνουμε ότι
Αρα στα τοπικά μέγιστα η έχει τιμή μικρότερη η ίση του
Λύση με θεωρία σχολικού βιβλίου.
Εστω ότι υπάρχει με
Θα είναι
Η ιδέα είναι ότι η παράγωγος κοντά στα άπειρα παίρνει οσο μικρές τιμές θέλουμε
Εφαρμόζω ΘΜΤ στο διάστημα
Υπάρχει
ώστε
Τελικά υπάρχει με
Ομοια μπορούμε να βρούμε με .
Θεωρούμε την στο κλειστό
Είναι
Αλλά στο η σαν συνεχής παίρνει μέγιστη τιμή που λόγω
της προηγούμενης είναι σε σημείο έστω
Τότε όμως δηλαδή
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Αρα για κάθε είναι
Με ύλη εκτός σχολικού.(περιγραφή)
Θεωρούμε το σύνολο που αποτελείται από τους πραγματικούς στους οποίους η έχει τοπικό μέγιστο.
Αν το δεν είναι ανω και κάτω φραγμένο το αποτέλεσμα έπεται.
Αν το είναι άνω φραγμένο τότε από κάπου και πέρα η θα είναι μονότονη.
Αρα θα υπάρχει το
Αν το αποτέλεσμα έπεται.
Αν τότε από κάπου και πέρα θα είναι
που βγάζει ΑΤΟΠΟ λόγω της .
'Ομοια δουλεύουμε αν το είναι κάτω φραγμένο.
Re: Από ανισότητες σε ανισότητα
Yπάρχει και άλλος τρόπος να δείξουμε ότι η παίρνει "μικρές" τιμές κοντά στο απειρο
Εύκολα βλέπουμε ότι
Τότε
παιρνουμε όρια οταν και δεδομένου ότι αν κοντά στο +άπειρο από κανονα DLH στον οποίο δεν μας ενδιαφέρει το οριο του αριθμητή, () γιατί αλλιώς το ζητούμενο είναι προφανές έχουμε,
ΕΤσι αποφεύγουμε τα ΘΜΤ που μου φάνηκαν ουρανοκατέβατα
Πάντως ΜΠΡΑΒΟ ! στον Σταύρο για τις λύσεις του
Εύκολα βλέπουμε ότι
Τότε
παιρνουμε όρια οταν και δεδομένου ότι αν κοντά στο +άπειρο από κανονα DLH στον οποίο δεν μας ενδιαφέρει το οριο του αριθμητή, () γιατί αλλιώς το ζητούμενο είναι προφανές έχουμε,
ΕΤσι αποφεύγουμε τα ΘΜΤ που μου φάνηκαν ουρανοκατέβατα
Πάντως ΜΠΡΑΒΟ ! στον Σταύρο για τις λύσεις του
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Παρ Φεβ 22, 2019 3:29 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες