Σύγκλιση γενικευμένου

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Σύγκλιση γενικευμένου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 25, 2019 8:06 pm

Εστω

f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

μονότονη συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι το

\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(x)\sin x dx

συγκλίνει αν και μόνο αν

\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 652
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύγκλιση γενικευμένου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 26, 2019 9:24 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 8:06 pm
Εστω

f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

μονότονη συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι το

\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(x)\sin x dx

συγκλίνει αν και μόνο αν

\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0
Ας το κάνουμε για f φθίνουσα. Για f αύξουσα παίρνουμε την -f, υπόθεση και συμπέρασμα μένουν ίδια.

(\Rightarrow ) Γράφουμε \displaystyle\int_{0}^{\infty }f(x)\sin x dx=\sum_{k=0}^{\infty }\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f(x)\sin x dx.

Επειδή η σειρά συγκλίνει θα ισχύει \displaystyle a_k:=\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f(x)\sin x dx\rightarrow 0.. Άρα \displaystyle a_{2k}\rightarrow 0.

Επειδή στα διαστήματα [2k\pi ,(2k+1)\pi ] είναι \sin x\geq 0 και επιπλέον f(2k\pi )\geq f(x)\geq f((2k+1)\pi ),

εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει \displaystyle \int_{2k\pi }^{(2k+1)\pi }f(2k\pi)\sin x dx\geq a_{2k}\geq \int_{2k\pi }^{(2k+1)\pi }f((2k+1)\pi)\sin x dx

απ'όπου παίρνουμε \displaystyle 2f(2k\pi)\geq a_{2k}\geq 2f((2k+1)\pi). Παίρνοντας όριο k\rightarrow \infty στην τελευταία και δεδομένου ότι το όριο

a της f υπάρχει (πεπερασμένο ή - \infty) βρίσκουμε τελικά 2a\leq 0\leq 2a δηλαδή a=0.


(\Leftarrow ) Γράφουμε \displaystyle\int_{0}^{\infty }f(x)\sin x dx=\sum_{k=0}^{\infty }\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f(x)\sin x dx= \sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f(x)|\sin x| dx

και για ευκολία θέτουμε \displaystyle b_k:=\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f(x)|\sin x| dx. Τότε

\displaystyle 2f(k\pi)\geq b_k=\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f(x)|\sin x| dx\geq \int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f((k+1)\pi)|\sin x| dx=

\displaystyle f((k+1)\pi)\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin x| dx=f((k+1)\pi)\int_{(k+1)\pi }^{(k+2)\pi }|\sin x| dx=

\displaystyle \int_{(k+1)\pi }^{(k+2)\pi }f((k+1)\pi)|\sin x| dx\geq \int_{(k+1)\pi }^{(k+2)\pi }f(x)|\sin x| dx=b_{k+1}\geq 2f((k+2)\pi).


Επομένως \displaystyle 2f(k\pi)\geq b_k\geq b_{k+1}\geq2f((k+2)\pi) από την οποία βλέπουμε ότι (b_k ) φθίνουσα και (παίρνοντας όριο k\rightarrow \infty)  b_k\rightarrow 0.


Από κριτήριο Leibniz παίρνουμε τελικά ότι η σειρά συγκλίνει. Από την άλλη για n\pi\leq x\leq (n+1)\pi έχουμε


\displaystyle \left |\int_{0 }^{x } f(t)\sin tdt-\sum_{k=0}^{n }(-1)^k\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }f(t)|\sin t| dt \right |=|\int_{x }^{(n+1)\pi } f(t)\sin t dt |\leq \int_{x }^{(n+1)\pi } |f(t)\sin t| dt.

Επειδή \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0 για τυχόν \displaystyle \varepsilon >0 θα ισχύει τελικά \displaystyle |f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}. Οπότε παίρνοντας n\rightarrow \infty

θα έχουμε επίσης x\rightarrow +\infty και επομένως τελικά θα είναι

\displaystyle \int_{x }^{(n+1)\pi } |f(t)\sin t| dt< \frac{\varepsilon }{2} \int_{x }^{(n+1)\pi } |\sin t| dt\leq \frac{\varepsilon }{2}\cdot 2=\varepsilon,

που δείχνει ότι γενικευμένο και σειρά έχουν την ίδια τιμή και επομένως το γενικευμένο συγκλίνει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση γενικευμένου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 28, 2019 3:04 pm

Αν γίνει η κατεύθυνση \Leftarrow
η άλλη είναι τετριμμένη(κάνοντας ακροβατικό)

Εστω ότι το \displaystyle\int_{0}^{\infty }f(x)\sin x dx συγκλίνει

Επειδή έχουμε μονότονη το \lim_{x\rightarrow \infty }(f(x))=l υπάρχει.

Είναι τετριμμένο ότι l\in \mathbb{R}

Τότε όμως το \displaystyle\int_{0}^{\infty }(f(x)-l)\sin x dxσυγκλίνει .

Αρα συγκλίνει το \displaystyle\int_{0}^{\infty }l\sin x dx

που δείχνει ότι l=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες