Ολοκλήρωμα-κυρτότητα
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ολοκλήρωμα-κυρτότητα
Δίνεται η κυρτή συνάρτηση
με συνεχή δεύτερη παράγωγο και
Ορίζουμε την
με
Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή.
με συνεχή δεύτερη παράγωγο και
Ορίζουμε την
με
Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 11
- Εγγραφή: Παρ Ιουν 28, 2013 7:31 pm
Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα
Καλημέρα Σταύρο.
Έστω .Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών .Eίναι προφανές ότι η u είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της,με και η f είναι συνεχής στο ,οπότε:
=
Μέχρι τώρα δείξαμε ότι είναι ,ενώ επειδή ,έπεται ότι .
Άρα έχουμε ότι
Τελικά λόγω της (*) έχουμε ότι ,με και
ισχύει:
(όπου η ανισότητα προκύπτει από την κυρτότητα της f)
κι ως εκ τούτου η F είναι κυρτή
Έστω .Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών .Eίναι προφανές ότι η u είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της,με και η f είναι συνεχής στο ,οπότε:
=
Μέχρι τώρα δείξαμε ότι είναι ,ενώ επειδή ,έπεται ότι .
Άρα έχουμε ότι
Τελικά λόγω της (*) έχουμε ότι ,με και
ισχύει:
(όπου η ανισότητα προκύπτει από την κυρτότητα της f)
κι ως εκ τούτου η F είναι κυρτή
τελευταία επεξεργασία από perpendicular σε Τρί Ιαν 08, 2019 1:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα
Εφτιαξα την τελευταία σχέση ώστε να φαίνεται όπως πρέπει.perpendicular έγραψε: ↑Τρί Ιαν 08, 2019 8:25 amΚαλημέρα Σταύρο.
Έστω .Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών .Eίναι προφανές ότι η u είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της,με και η f είναι συνεχής στο ,οπότε:
=
Μέχρι τώρα δείξαμε ότι είναι ,ενώ επειδή ,έπεται ότι .
Άρα έχουμε ότι
Τελικά λόγω της (*) έχουμε ότι ,με και
ισχύει:
(όπου η ανισότητα προκύπτει από την κυρτότητα της f)
κι ως εκ τούτου η F είναι κυρτή
Η παραπάνω είναι μια από τις αποδείξεις που γνωρίζω.
Χρησιμοποιεί μόνο την κυρτότητα με τον κανονικό ορισμό (όχι του σχολικού)
και φυσικά δεν χρειάζεται παραγωγισιμότητα.
Υπάρχει και άλλη απόδειξη με σχολική ύλη (όχι στο πνεύμα).
Αυτή βασίζεται στο ότι μπορούμε να εκφράσουμε την
σαν ολοκλήρωμα που περιέχει την .
Δεν την γράφω μήπως θέλει κάποιος να την προσπαθήσει.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα
Η δεύτερη λύση γίνεται αποδεικνύοντας ότιΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Ιαν 07, 2019 7:18 pmΔίνεται η κυρτή συνάρτηση
με συνεχή δεύτερη παράγωγο και
Ορίζουμε την
με
Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή.
Η παραπάνω είναι από μόνη της ενδιαφέρουσα και αποδεικνύεται κάνοντας δύο
παραγοντικές ολοκληρώσεις.
Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα
Καλησπέρα
Λήμμα
Το του ΘΜΤ σε μια κυρτή συνάρτηση είναι αύξουσα και συνεχής συνάρτηση του χ
Βλεπε σχέσεις 69 ,70 στην εργασία μου Γεωμετρικέ συνθήκες κυρτότητας στον ΕΚΘΕΤΗ του Ν.Μαυρογιάννη
Εδώ έχουμε Με
τότε
Έστω λόγω του λήμματος άρα αύξουσα συνάρτηση του χ και με τιμές θετικές αφού
H αύξουσα αφού κυρτή, αύξουσα από το λήμμα άρα η αύξουσα
οπότε αύξουσα δηλαδή κυρτή
Λήμμα
Το του ΘΜΤ σε μια κυρτή συνάρτηση είναι αύξουσα και συνεχής συνάρτηση του χ
Βλεπε σχέσεις 69 ,70 στην εργασία μου Γεωμετρικέ συνθήκες κυρτότητας στον ΕΚΘΕΤΗ του Ν.Μαυρογιάννη
Εδώ έχουμε Με
τότε
Έστω λόγω του λήμματος άρα αύξουσα συνάρτηση του χ και με τιμές θετικές αφού
H αύξουσα αφού κυρτή, αύξουσα από το λήμμα άρα η αύξουσα
οπότε αύξουσα δηλαδή κυρτή
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα
Γενικότερα 'θα έπρεπε' ... η συνάρτηση "μέσος όρος" κυρτής σε κάποιο διάστημα συνάρτησης να είναι κυρτή στο ίδιο διάστημα ... και υποπτεύομαι ότι οι παραπάνω τεχνικές μπορούν να το αποδείξουν ... αλλά δεν βλέπω κάποιον άλλο 'προφανή' λόγο για τον οποίο θα έπρεπε να ισχύει αυτό...
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες