Πεδίο ορισμού από συναρτησιακή!

#1

Έφτιαξα το παρακάτω θεματάκι, αλλά το βάζω εδώ, γιατί είναι βαρύ για τους φακέλους των μαθητών.
Το ενδιαφέρον,νομίζω, έγκειται στο ότι ζητείται να βρεθεί το πεδίο ορισμού από συναρτησιακή σχέση που ικανοποιεί η $\displaystyle{f}$ , χωρίς να είναι γνωστός ο τύπος της συνάρτησης.

$\displaystyle{\color{red}\rule{400pt}{2pt}}$

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f,}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{e^{x+f(x)}=xf(x)~}$ ( $\displaystyle{\color{red}{\bigstar}}$ ).

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού $\displaystyle{A}$ της συνάρτησης.

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $\displaystyle{C_f.}$

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και κοίλη.

$\displaystyle{\color{red}\rule{400pt}{2pt}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

matha έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 10, 2018 10:23 pm
Έφτιαξα το παρακάτω θεματάκι, αλλά το βάζω εδώ, γιατί είναι βαρύ για τους φακέλους των μαθητών.
Το ενδιαφέρον,νομίζω, έγκειται στο ότι ζητείται να βρεθεί το πεδίο ορισμού από συναρτησιακή σχέση που ικανοποιεί η $\displaystyle{f}$ , χωρίς να είναι γνωστός ο τύπος της συνάρτησης.

$\displaystyle{\color{red}\rule{400pt}{2pt}}$

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f,}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{e^{x+f(x)}=xf(x)~}$ ( $\displaystyle{\color{red}{\bigstar}}$ ).

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού $\displaystyle{A}$ της συνάρτησης.

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $\displaystyle{C_f.}$

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και κοίλη.

$\displaystyle{\color{red}\rule{400pt}{2pt}}$

Γράφω το πρώτο ερώτημα και λίγο από το τρίτο. Θα επανέλθω, εφόσον δεν απαντηθούν, και με τα υπόλοιπα.

Θα δείξουμε ότι το ευρύτερο σύνολο στο οποίο ανήκει το

για το οποίο υπάρχει συνάρτηση που ικανοποιεί τη συναρτησιακή είναι το $(-\infty ,0).$

Καταρχάς παρατηρούμε ότι τα x,f(x)

πρέπει να είναι ομόσημα. Παίρνουμε την περίπτωση στην οποία τα

x,f(x)

ανήκουν στο $(-\infty ,0).$ Η συναρτησιακή μας γράφεται $\frac{e^{f(x)}}{f(x)}=\frac{x}{e^x}.$ Θεωρούμε τις

συναρτήσεις $g(x)=\frac{e^y}{y},y<0$ και $h(x)=\frac{x}{e^x},x<0$ . Εύκολα ελέγχουμε ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα με

σύνολο τιμών το $(-\infty ,0)$ και η

είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών το ίδιο. Επομένως αν πάρουμε ένα

x_0 <0

τότε θα υπάρχει ένα y_0 <0

ώστε το $h(x_0)=\frac{x_0}{e^{x_0}}$ να ανήκει στο ΣΤ της

.

Θεωρώντας την αντιστοίχιση $x_0\rightarrow y_0$ δημιουργούμε μια συνάρτηση που ικανοποιεί τελικά τη συναρτησιακή.

Αν θεωρήσουμε ότι τα x,f(x)

ανήκουν στο $(0,\infty )$ τότε θεωρώντας τις $g(x)=\frac{e^y}{y},y>0$ και $h(x)=\frac{x}{e^x},x>0$

βρίσκουμε ότι $g(y)\geq e,h(x)\leq \frac{1}{e}$ και επομένως δεν μπορεί να ορισθεί συνάρτηση που να ικανοποιεί τη συναρτησιακή στο $(0,\infty )$

και κατά συνέπεια σε οποιοδήποτε υποσύνολο αυτού.

Δείχνω τώρα ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα. Αν $x_1,x_2 \in (-\infty ,0)$ με x_1<x_2

τότε:

$x_1<x_2\Rightarrow h(x_1)<h(x_2)\Rightarrow g(f(x_1))<g(f(x_2))\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ όπου η πρώτη συνεπαγωγή προέκυψε από το

γεγονός ότι η

είναι γνησίως αύξουσα και η τελευταία από το ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Συνέχεια...

Επειδή η

είναι γνησίως φθίνουσα τα όρια $\lim_{x\rightarrow0^{- }}f(x),\lim_{x\rightarrow-\infty }f(x)$ θα είναι πραγματικοί $\leq 0$ ή $- \infty .$

Είναι προφανές ότι θα ισχύει $\lim_{x\rightarrow0^{- }}f(x)=-\infty ,\lim_{x\rightarrow-\infty }f(x)=0$ . Καθαρά για το τυπικό κομμάτι

επειδή $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x}{e^x}=0$ θα είναι επίσης $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{e^{f(x)}}{f(x)}=0$ . Υποθέτωντας

ότι $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lambda<0$ παίρνουμε $\frac{e^{\lambda}}{\lambda}=0$ (άτοπο) ενώ αν $\lambda=0$

παίρνουμε $0=-\infty$ πάλι άτοπο. Άρα $\lim_{x\rightarrow0^{- }}f(x)=-\infty$ και όμοια βρίσκουμε ότι $\lim_{x\rightarrow-\infty }f(x)=0$

Τέλος δείχνουμε ότι η

είναι (γνήσια) κοίλη. H παραγωγισιμότητα μπορεί να μην δωθεί αλλά προκύπτει.

Συγκεκριμένα είναι $f(x)=g^{-1}(h(x))$ και η $g^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη αφού η

έχει αρνητική παράγωγο. Επίσης η

είναι παραγωγίσιμη.

Παίρνοντας λογαρίθμους στη δοσμένη συναρτησιακή (διευκολύνει όταν κατέβουμε στη δεύτερη παράγωγο) έχουμε

$x+f(x)=\ln(-x)+\ln(-f(x))\Rightarrow 1+{f}'(x)=\frac{1}{x}+\frac{{f}'(x)}{f(x)}(\bigstar )\Rightarrow {f}''(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{{f}''(x)f(x)-({f}'(x))^2}{(f(x))^2}\Rightarrow$

$...\Rightarrow((f(x))^2-f(x)){f}''(x)=-(\frac{(f(x))^2}{x^2}+ ({f}'(x))^2)\Rightarrow {f}''(x)=-\frac{\frac{(f(x))^2}{x^2}+ ({f}'(x))^2 }{(f(x))^2-f(x)}<0$

(η παράσταση

είναι θετική αφού f(x)<0

) . Το τελευταίο αποδεικνύει ότι η

είναι κοίλη.

Από την $(\bigstar )$ βρίσκουμε επίσης ότι ${f}'(x)= \frac{f(x)(1-x)}{x(f(x)-1)}<0$ και αποδεικνύουμε αλλιώς ότι η είναι γνησίως φθίνουσα όπως και το ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη

Πεδίο ορισμού από συναρτησιακή!

Πεδίο ορισμού από συναρτησιακή!

Re: Πεδίο ορισμού από συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση