Φράγμα Ολοκληρώματος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $0\leq a< b$

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle\left | \int_{a}^{b}\frac{\sin x}{x}dx \right |\leq min(3,\frac{2}{a})$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Σχεδιάγραμμα τῆς Ἀποδείξεως.

A. Γιὰ a=0

, ἡ συνάρτηση $f(x)=\int_0^x\frac{\sin t\,dt}{t}$ εἶναι αὔξουσα στὰ διαστήματα $[2k\pi, (2k+1)\pi]$ καὶ φθίνουσα στὰ $[(2k+1)\pi, 2(k+1)\pi]$ , καὶ εὐκόλως διαπιστοῦται ὅτι λαμβάνει ἀπόλυτο μέγιστο γιὰ $x=\pi$ , καὶ $f(\pi)<3$ .

Β. Γιὰ $0<a\le k\pi \le \ell\pi \le b$ , Ἰσχύει ὅτι
$\displaystyle{ g(b)=\int_a^b\frac{\sin x \,dx}{x}=\int_a^{k\pi}\frac{\sin x \,dx}{x}+\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x \,dx}{x}+\cdots+\int_{\ell\pi}^b\frac{\sin x \,dx}{x} }$
ὅπου ἂν $I_k=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x \,dx}{x}$ , καὶ ἡ ἀκολουθία (-1)^kI_k

εἶναι γνησίως φθίνουσα καὶ τείνει στὸ μηδέν.

B-1. $b\in [2m\pi, (2m+1)\pi]$ , γιὰ κάποιο

, μὴ ἀρνητικὸ ἀκέραιο. Τότε ἡ τιμὴ τοῦ

, ἡ μεγιστοποιοῦσα τὴν

εἶναι ἡ $b=(2m+1)\pi$ , καὶ
$\displaystyle{ g\big((2m+1)\pi)\big)=\int_a^{(2m+1)\pi}\frac{\sin x \,dx}{x}\le \frac{1}{a}\int_a^{(2m+1)\pi}\sin x \,dx\le \frac{1}{a}\int_{2m\pi}^{(2m+1)\pi}\sin x \,dx =\frac{2}{a}. }$

B-2. $b\in [(2m+1)\pi, (2m+2)\pi]$ , γιὰ κάποιο

, μὴ ἀρνητικὸ ἀκέραιο. Τότε ἡ τιμὴ τοῦ

, ἡ μεγιστοποιοῦσα τὴν

εἶναι εἴτε ἡ b=a

, ὁπότε

, εἴτε ἡ $b=(2m+3)\pi$ , ὁπότε, ὅπως κὰ στὴν Β-1, λαμβάνομε ὅτι
$\displaystyle{ g\big((2m+1)\pi)\big)\le \frac{2}{(2m+2)\pi)}<\frac{2}{a}. }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Επαγγελματική η λύση του Γιώργου που αν την δούμε καλά βελτιώνει το φράγμα.
Ευχαριστώ Γιώργο και νομίζω ότι η παρουσία σου στο

είναι πολύ σημαντική.

Με τα δεδομένα του προβλήματος είχα υπ όψιν μου την παρακάτω λύση:

Για a> 0

είναι
$\displaystyle \int_{a}^{b}\frac{\sin x}{x}dx =\int_{a}^{b}\frac{(-\cos x)'}{x}dx=\frac{\cos a}{a}-\frac{\cos b}{b}-\int_{a}^{b}\frac{\cos x}{x^{2}}dx$

παίρνοντας απόλυτες τιμές έχουμε ότι

$\displaystyle \left |\int_{a}^{b}\frac{\sin x}{x}dx \right | \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\left | \int_{a}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx \right |$

Αλλά $\displaystyle\int_{a}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx =\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

Προκύπτει ότι $\displaystyle \left |\int_{a}^{b}\frac{\sin x}{x}dx \right | \leq\frac{2}{a}$

Αν τώρα $a\geq 1$ τότε $\displaystyle \left |\int_{a}^{b}\frac{\sin x}{x}dx \right | \leq\frac{2}{a} \leq2<3$

ενώ αν

$0\leq a< 1$ τότε $\displaystyle \int_{a}^{b}\frac{\sin x}{x}dx=\int_{a}^{1}\frac{\sin x}{x}dx+\int_{1}^{b}\frac{\sin x}{x}dx$

και επειδή το πρώτο ολοκλήρωμα κατά απόλυτη τιμή είναι $\leq$ του

ενω το δεύτερο του

προκύπτει το ζητούμενο

Φράγμα Ολοκληρώματος

Φράγμα Ολοκληρώματος

Re: Φράγμα Ολοκληρώματος

Re: Φράγμα Ολοκληρώματος

Re: Φράγμα Ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση