Ισότητα ολοκληρώματων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{R}$ μία συνάρτηση συνεχής. Πότε ισχύει η ισότητα:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} \left| f(x) \right| \, \mathrm{d}x = \left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, \mathrm{d}x \right|}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Guardian · #2

'Εστω ότι:

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0. \Rightarrow \int_{a}^{b} |f(x)|-f(x) dx =0 \Rightarrow |f(x)|=f(x) \Rightarrow f(x) \geq 0$

Αφού : $|f(x)| \geq f(x) \Rightarrow |f(x)|-f(x) \geq 0$

'Εστω τώρα ότι :

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \leq 0. \Rightarrow \int_{a}^{b}| f(x)| + f(x) dx \leq 0 \Rightarrow |f(x)|=-f(x) \Rightarrow f(x) \leq 0$

Οπότε συπμεραίνουμε οτι ισχύει η ισότητα όταν η f είναι μη αρνητική ή μη θετική

Ισότητα ολοκληρώματων

Ισότητα ολοκληρώματων

Re: Ισότητα ολοκληρώματων

Μέλη σε σύνδεση