mikemoke έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm
Έστω παραγωγίσιμη
για κάποιο
ισχύει ότι
και
.
Να εξεταστεί αν υπάρχει
παραγωγίσιμη και κυρτή στο
με
και
και υπάρχει
γνησίως αύξουσα ακολουθία με
τέτοια ώστε
Θα αποδείξουμε το γενικότερο . Πρόταση (A)
Έστω παραγωγίσιμη
για κάποιο
ισχύει ότι
με
Ισχύει και η υπόθεση
(βλέπε πιο κάτω)
Τότε υπάρχει
κυρτή και παραγωγίσιμη στο
με
και υπάρχει
γνησίως φθίνουσα ακολουθία με
τέτοια ώστε
Θα αποδείξουμε πρώτα ότι υπάρχει
κυρτή και παραγωγίσιμη που να είναι άνω φράγμα της
σε μια περιοχή του
και μετά να επεκταθούμε και στο
.
Έστω
και
την εφαπτομένη της
στο
Kάνουμε την υπόθεση
ότι
Αν δεν ισχύει η παραπάνω υπόθεση τότε
και τότε έπεται το
Έστω
με
τότε
και
Aν
φθίνουσα ακολουθία με
τέτοια ώστε
Άρα
ATOΠΟ αφού
Έστω
υπάρχει διαμέριση
του
και
τέτοια ώστε
και
για
για
με
για την οποία ισχύει
Ορίζουμε
και ως
ευθεία διερχόμενη από σημεία
και ως
ευθεία διερχόμενη από σημεία
Από
έχουμε
Έστω ότι
ακολουθία με
για κάθε
εν
( μη φραγμένο υποσύνολο του
τέτοια ώστε
και
και την καλούμε περίπτωση
Aπό αυτά μπορούμε να συνάγουμε ότι
και
με
την εφαπτομένη της
σε σημείο
Παρατηρούμε ότι
με
Άρα μπορούμε να επιλέξουμε κάθε
με
όπου
το ελάχιστο στοιχεία του
ώστε να ισχύει
διαδοχικούς όρους εν
και
Συνάγουμε ότι
Αν
όπου
την οποία καλούμε περίπτωση
Eπομένως κατασκευάζεται
που να φράσει την
για μια περιοχή του
ώστε τα
στην περιοχή να είναι
Λόγω συμμετρία έχουμε τα ίδια για περιοχή του
ώστε
Άρα αποδείχθηκε το
Προφανώς η
ισχύει στην περίπτωση
Άρα μένει η
Άρα έχουμε
AN
Από
έχουμε ότι
που εφάπτεται σε
και φράσει άνω την
για κάθε
όπου
περιοχή του
Aπό
έχουμε ότι
Άρα
και
Άρα έπεται η
Αλλιώς
υπακολουθία της
τέτοια ώστε :
και
ή
με
Από
υπάρχει κυρτή , παραγωγίσιμη
Aπό αυτά έπεται η
για την περίπτωση