Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

Γ.-Σ. Σμυρλής

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθεῖ τὸ ὅριο τῆς ἀκολουθίας $\{x_n\}$ τῆς ὁποίας οἱ ὅροι ἱκανοποιοῦν τὴν ἐξίσωση
$\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+x_n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}. }$

dement

Η ακολουθία μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle x_n = \frac{\ln \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \right) - n \ln (1 + 1/n)}{\ln (1 + 1/n)}$ .

Από το θεώρημα Taylor έχουμε $\displaystyle \mathrm{e} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{(n+1)!} \right) \implies \ln \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \right) = 1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{(n+1)!} \right)$ .

Επίσης, $\displaystyle \ln \left(1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{n^3} \right)$ .

Έτσι, $\displaystyle x_n = \frac{1/2n + \mathcal{O} (1/n^2)}{1/n + \mathcal{O} (1/n^2)} \implies \lim x_n = \frac{1}{2}$

Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

Re: Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

Μέλη σε σύνδεση