Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 540
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τρί Φεβ 13, 2018 10:42 am

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθεῖ τὸ ὅριο τῆς ἀκολουθίας \{x_n\} τῆς ὁποίας οἱ ὅροι ἱκανοποιοῦν τὴν ἐξίσωση
\displaystyle{ 
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+x_n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}. 
}



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1381
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Φεβ 13, 2018 2:19 pm

Η ακολουθία μπορεί να γραφεί ως \displaystyle x_n = \frac{\ln \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \right) - n \ln (1 + 1/n)}{\ln (1 + 1/n)}.

Από το θεώρημα Taylor έχουμε \displaystyle \mathrm{e} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{(n+1)!} \right) \implies  \ln \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \right) = 1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{(n+1)!} \right).

Επίσης, \displaystyle \ln \left(1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{n^3} \right).

Έτσι, \displaystyle x_n = \frac{1/2n + \mathcal{O} (1/n^2)}{1/n + \mathcal{O} (1/n^2)} \implies \lim x_n = \frac{1}{2}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ARHS100 και 1 επισκέπτης