Γεωμετρικός τόπος

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Γεωμετρικός τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Φεβ 07, 2018 2:47 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f(x)={{x}^{3}}-x,\,\,\,\,x\in \mathbb{R}
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων \displaystyle A(a,b) του επιπέδου από τα οποία άγονται τρεις
εφαπτόμενες προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10844
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 09, 2018 8:45 pm

Η εφαπτομένη της καμπύλης με εξίσωση : f(x)=x^3-x , στο σημείο της : A(a,f(a)) ,

έχει εξίσωση : y=(3a^2-1)x-2a^3 . Αναζητούμε τα σημεία S(k,m) του επιπέδου ,

για τα οποία η εξίσωση : m=(3a^2-1)k-2a^3\Leftrightarrow\boxed{2a^3-3ka^2+k+m=0}

- με άγνωστο το a - έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

Θεωρούμε γνωστό ότι αυτό συμβαίνει , αν η τριτοβάθμια εξίσωση : ax^3+bx^2+cx+d=0 ,

έχει : D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2>0 .

Εν προκειμένω είναι : a=2 ,b=-3k ,c=0 , d=k+m , οπότε :

D=108\left[k^3(k+m))-(k+m)^2\right] .

Θέλουμε λοιπόν : (k+m)(k^3-k-m)>0 , ή με τον συνήθη συμβολισμό ,

τα σημεία S(x,y) του επιπέδου για τα οποία : (x+y)(x^3-x-y)>0 .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γεωμετρικός τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 09, 2018 9:14 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 8:45 pm
Η εφαπτομένη της καμπύλης με εξίσωση : f(x)=x^3-x , στο σημείο της : A(a,f(a)) ,

έχει εξίσωση : y=(3a^2-1)x-2a^3 . Αναζητούμε τα σημεία S(k,m) του επιπέδου ,

για τα οποία η εξίσωση : m=(3a^2-1)k-2a^3\Leftrightarrow\boxed{2a^3-3ka^2+k+m=0}

- με άγνωστο το a - έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .
συνεχίζω διαφορετικά .

Αντι a βάζω x.

Θέλουμε η q(x)=2x^3-3kx^2+k+m να έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Εχουμε ότι q'(x)=6x^{2}-6kx=6x(x-k)

Τα τοπικά ακρότατα είναι στα  0,k

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η q(x)=0 έχει τρεις πραγματικές αν και μόνο αν

q(0)q(k)<0

Απο την τελευταία προκύπτει η σχέση που έγραψε ο KARKAR


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6719
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικός τόπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 09, 2018 9:32 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 8:45 pm
Η εφαπτομένη της καμπύλης με εξίσωση : f(x)=x^3-x , στο σημείο της : A(a,f(a)) ,

έχει εξίσωση : y=(3a^2-1)x-2a^3 . Αναζητούμε τα σημεία S(k,m) του επιπέδου ,

για τα οποία η εξίσωση : m=(3a^2-1)k-2a^3\Leftrightarrow\boxed{2a^3-3ka^2+k+m=0}

- με άγνωστο το a - έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

Θεωρούμε γνωστό ότι αυτό συμβαίνει , αν η τριτοβάθμια εξίσωση : ax^3+bx^2+cx+d=0 ,

έχει : D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2>0 .

Εν προκειμένω είναι : a=2 ,b=-3k ,c=0 , d=k+m , οπότε :

D=108\left[k^3(k+m))-(k+m)^2\right] .

Θέλουμε λοιπόν : (k+m)(k^3-k-m)>0 , ή με τον συνήθη συμβολισμό ,

τα σημεία S(x,y) του επιπέδου για τα οποία : (x+y)(x^3-x-y)>0 .

:clap2:


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Γεωμετρικός τόπος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Φεβ 09, 2018 9:52 pm

Θανάση , Σταύρο , ευχαριστώ για τις απαντήσεις
Η λύση μου συμπίπτει με αυτήν του Σταύρου.
Την έβαλα εδώ διότι οι μαθητές δεν διδάσκονται πλέον ανισώσεις με δύο μεταβλητές
Κάποτε διδάσκονταν γραμμικό προγραμματισμό στη Γ΄Γυμνασίου
Βάζω κι ένα σχήμα . Η λύση αποτελείται από τις περιοχές Ι και ΙΙ
Συνημμένα
cubic.png
cubic.png (28.25 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης