Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Βασίλης Νεστορίδης · #1

Μία άσκηση που μπορεί να λυθεί από μαθητές είναι η ακόλουθη: Έστω $N\geq 1$ φυσικός αριθμός και $x_{1},x_{2},...x_{N}$
πραγματικοί αριθμοί. Αν $\displaystyle \frac{{{\text{x}}_{\text{1}}}\text{+}...\text{+}{{\text{x}}_{\text{N}}}}{\text{N}}\text{=}\frac{\text{x}_{\text{1}}^{\text{2}}\text{+}...\text{+x}_{\text{N}}^{\text{2}}}{\text{N}}\text{=1}$ τότε να δειχθεί ότι $x_{1}=x_{2}=...=x_{N}=1$ .
Η λύση είναι απλή με τον μετασχηματισμό $x_{K}=1+\varepsilon _{K}, \varepsilon _{K}\geq 0$ .
Τότε καταλήγουμε $\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+...+\varepsilon_{N}=0$ και $\varepsilon _{1}^{2}+...+\varepsilon _{N}^{2}=0$ . Επειδή τα $\varepsilon_{K}$ είναι πραγματικοί αριθμοί, παίρνουμε $\varepsilon_{K}=0$ και $x_{1}=x_{2}=...=x_{N}=1$ .
Παρατηρούμε ότι αν εργαζόμαστε στους μιγαδικούς αριθμούς, τα προηγούμενα δεν ισχύουν, διότι π.χ. για $N\geq 3$
, αν $\varepsilon_{K}$ είναι οι Ν-οστές ρίζες του 1 τότε $\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+...+\varepsilon_{N}=0$ και $\varepsilon _{1}^{2}+...+\varepsilon _{N}^{2}=0$ , όμως τα $\varepsilon_{K}$ δεν είναι μηδενικά.

Η προηγούμενη άσκηση έχει επεκτάσεις που συνδέονται με κυρτότητα και p-νόρμα: Έστω $0< \alpha < \beta < \infty$ . Τότε είναι γνωστό ότι ισχύουν οι ανισοϊσότητες:
$\displaystyle {{\left( \frac{\text{ }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{x}}_{\text{1}}}{{\text{ }\!\!|\!\!\text{ }}^{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}\text{+}...\text{+ }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{x}}_{\text{ }\!\!\Nu\!\!\text{ }}}{{\text{ }\!\!|\!\!\text{ }}^{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}}{\text{ }\!\!\Nu\!\!\text{ }} \right)}^{{}^{\text{1}}/{}_{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}}\le {{\left( \frac{\text{ }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{x}}_{\text{1}}}{{\text{ }\!\!|\!\!\text{ }}^{\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}}\text{+}...\text{+ }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{x}}_{\text{ }\!\!\Nu\!\!\text{ }}}{{\text{ }\!\!|\!\!\text{ }}^{\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}}}{\text{ }\!\!\Nu\!\!\text{ }} \right)}^{{}^{\text{1}}/{}_{\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}}}\le \text{max }\!\!\{\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{x}}_{\text{1}}}\text{ }\!\!|\!\!\text{ },...,\text{ }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{x}}_{\text{N}}}\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .
Αν μία από τις προηγούμενες ανισοϊσότητες ισχύει ως ισότητα, τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι $|x_{1}|=...=|x_{N}|$
Ειδική περίπτωση αυτού του γεγονότος είναι η προαναφερθείσα σχολική άσκηση, που όπως είδαμε έχει και στοιχειώδη απόδειξη, ενώ η γενική περίπτωση απαιτεί πιο προχωρημένα εργαλεία όπως θεωρία κυρτών και γνήσια κυρτών συναρτήσεων (ανισότητα Jensen στην κυρτότητα). Ακόμη τα αθροίσματα μπορούν να είναι άπειρα (δηλαδή να έχουμε σειρά με θετικά βάρη αθροιζόμενα σε 1 αντί να έχουμε μόνο Ν βάρη ίσα προς $\frac{1}{N}$ το καθένα) ή και να αντικατασταθούν από ολοκληρώματα.

Ένα δεύτερο θέμα, φαινομενικά άσχετο με το πρώτο, που όμως κατά βάθος συνδέεται, είναι το ακόλουθο: Έχουμε ένα στερεό αβαρή κυκλικό δίσκο και πάνω του τοποθετούμε διάφορα βάρη. Αν η κατανομή των βαρών είναι καλή, τότε το κέντρο βάρους θα συμπίπτει με το κέντρο του δίσκου. Γενικά όμως το κέντρο βάρους μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του κλειστού δίσκου. Δεν μπορεί να βγει έξω απ’ αυτόν.
Ερώτηση Α: Αν το κ.β. βγει να είναι ένα σημείο της περιφέρειας του δίσκου, τότε τι συμπεραίνουμε για την κατανομή των βαρών πάνω στο δίσκο;
Ερώτηση Β: Αν αντικαταστήσουμε τον δίσκο με στερεό αβαρές τετράγωνο και το κ.β. των βαρών βγει να είναι ένα σημείο της περιμέτρου του τετραγώνου, τότε τι συμπεραίνουμε για την κατανομή των βαρών πάνω στο τετράγωνο;
Ερώτηση Γ: Πώς γενικεύονται τα προηγούμενα;
Οι απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά μπορούν να δοθούν ή με χρήση Φυσικής, ότι η συνισταμένη των ροπών ως προς οποιονδήποτε άξονα διερχόμενο από το κέντρο βάρους είναι μηδέν είτε με Μαθηματικά όπου χρησιμοποιούνται η κυρτότητα των σχημάτων καθώς και η γενική περίπτωση του πρώτου θέματος.

#2

Βασίλης Νεστορίδης έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 10, 2018 4:54 pm
Έχουμε ένα στερεό αβαρή κυκλικό δίσκο και πάνω του τοποθετούμε διάφορα βάρη. Αν η κατανομή των βαρών είναι καλή, τότε το κέντρο βάρους θα συμπίπτει με το κέντρο του δίσκου. Γενικά όμως το κέντρο βάρους μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του κλειστού δίσκου. Δεν μπορεί να βγει έξω απ’ αυτόν.
Ερώτηση Α: Αν το κ.β. βγει να είναι ένα σημείο της περιφέρειας του δίσκου, τότε τι συμπεραίνουμε για την κατανομή των βαρών πάνω στο δίσκο;
Ερώτηση Β: Αν αντικαταστήσουμε τον δίσκο με στερεό αβαρές τετράγωνο και το κ.β. των βαρών βγει να είναι ένα σημείο της περιμέτρου του τετραγώνου, τότε τι συμπεραίνουμε για την κατανομή των βαρών πάνω στο τετράγωνο;
Ερώτηση Γ: Πώς γενικεύονται τα προηγούμενα;

Βασίλη, Χρόνια σου Πολλά.

Ερώτηση Α: Αν κανένα βάρος δεν ήταν πάνω στο κ.β. τότε μπορούμε να φέρουμε μία χορδή του κύκλου αρκούντως κοντά στο κ.β. που να έχει τα σημεία από την άλλη της πλευρά. Αυτό οδηγεί σε άτοπο αφού τότε τα σημεία θε είχαν κ.β. σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από αυτό που ανήκουν. Άρα τουλάχιστον ένα σημείο είναι επί του κ.β. Το διώχνουμε. Το κ.β. δεν αλλάζει θέση. Επαγωγικά, όλα τα σημεία είναι επί του κ.β.

Ερώτηση Β: Για κ.β. στην κορυφή: Με παρόμοιο συλλογισμό όλα τα σημεία συμπίπτουν. Για κ.β. στην περίμετρο αλλά όχι κορυφή, παρόμοιος συλλογισμός δείχνει ότι όλα τα σημεία θα είναι στην ίδια πλευρά που περιέχει το κ.β.

Ερώτηση Γ: Υποθέτω ότι ρωτάς σχετικά με το Θεώρημα Krein-Milman.

https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_point

Συγκεκριμένα, σε συμπαγή κυρτά σύνολα τοπικά κυρτών τοπολογικών χώρων το κέντρο βάρους μπορεί να είναι οπουδήποτε
στο σύνολο, με κατάλληλη επιλογή βαρών (μόνο) στα extreme points. Τα δε extreme points έχουν την ιδιότητα που εμφανίζεται παραπάνω (τα σημεία/βάρη πρέπει να βρίσκονται όλα στο κ.β. τους). Στον κύκλο όλα τα σημεία της περιφέρειας είναι extreme points, και μόνον αυτά. Στα τετράγωνα, είναι οι κορυφές.

Βασίλης Νεστορίδης · #3

Μιχαλη Χρονια Πολλα.

Συμφωνω με οσα λες, Ομως ποια η σχεση με το πρωτο θεμα? Κατι αλλο που βρισκω διασκεδαστικο ειναι το ακολυθο. Ας πουμε οτι στο δισκο το κεντρο βαρους ειναι ενα σημειο Α της περιφερειας. Θεωρουμε μια ευθεια που περναει απο το Α και βρισκεται στο ιδιο επιπεδο με τον δισκο. Αν αυτη τεμνει και σε δευτερο σημειο την περιφερεια τοτε καποια βαρη μπορει να ειναι αριστερα και καποια δεξια. Ετσι δεν αποκλειεται να εξισορροπουνται. Αν ομως η ευθεια ειναι εφαπτομενη , τοτε ολος ο δισκος εκτος του Α ειναι απο την μια μερια της ευθειας. Ετσι αν εστω κι ενα βαρος δεν ειναι στο Α τοτε το σχημα θα τουμπαρει γιατι δεν υπαρχει βαρος απο την αλλη πλευρα της ευθειας για να εξισορροπηθουν. Αρα ολα τα βαρη ειναι τοποθετημενα στο Α. Αυτη ειναι μια διαισθητικη αντιμετωπιση που φυσικα μπορει να γινει αυστηρη και απο μαθηματικης αποψεως.

Βασιλης

#4

Βασίλης Νεστορίδης έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 10, 2018 10:12 pm
Ομως ποια η σχεση με το πρωτο θεμα?

Βασίλη, επειδή ουσιαστικά το είχες επισημάνει στο πρώτο σου μήνυμα (τελευταία παράγραφος), το άφησα ασχολίαστο.

Μία εκδοχή των παραπάνω είναι: Αν

μοναδιαία σημειακά βάρη έχουν κέντρο βάρους σε απόσταση

και ακτίνα περιστροφής (radius of gyration)

από την αρχή των αξόνων, τότε τα σημεία συμπίπτουν.

Βασίλης Νεστορίδης · #5

Ελα Μιχαλη,

Ναι ολα αυτα τελικα αναγονται στο εξης απλο που ολοι οι μαθητες καταλαβαινουν πολυ καλα.

Αμα ξερουμε οτι ολοι οι βαθμοι ειναι απο 15 και πανω και αμα συμβει ο μεσος ορος των βαθμων να ειναι ακριβως 15, τοτε ολα τα μαθηματα εχουν βαθμο ακριβως 15 ( τουλαχιστον αυτα που εχουν θετικο συντελεστη βαρυτητος για το σχηματισμο των μεσων ορων ).

Τελος σημειωνω οτι τα προαναφερθεντα επιχειρηματα αφορουν πεπερασμενο πληθος βαρων ( μαζων ) και μπορουν να τροποποιηθουν ωστε να ισχυουν για την γενικη κατανομη, που περιλαμβανει απειρα βαρη με σημειο συσσωρευσης η και συνεχεις κατανομες κοκ..

Επισης στη σχεση του δευτερου θεματος με το πρωτο, εκτος απο φιλοσοφικες σχεσεις μπορει κανεις να δωσει αποδειξη του δευτερου θεματος βασισμενο στις ανισοισοτητες του πρωτου θεματος,οι οποιες επεκτεινονται για γενικη κατανομη μετρου πιθανοτητας. Κι ολα αυτα ειναι προεκτασεις μιας απλουστατης σχολικης ασκησης.

Βασιλης

Βασίλης Νεστορίδης · #6

Ελα Μιχαλη,

Μιλας για ακτινα περιστροφης ( radius of gyration ). Αμα θελεις θυμισε τον ορισμο, τι ειναι αυτο. Εχω την εντυπωση οτι το επιχειρημα πρεπει να ειναι αναλογο με το ακολουθο.

Αν εφαρμωσουμε την τριγωνικη ανισοτητα σε ενα αθροισμα διανυσματων και αυτη ισχυει σαν ισοτητα τοτε εχουμε το εξης.

Υπαρχει μια κλειστη ημιευθεια με αρχη το 0 που περιεχει ολα υα διανυσματα.

Ετσι ειναι η οχι?

Ευχαριστω

Βασιλης

#7

Βασίλης Νεστορίδης έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 6:45 am
Μιλας για ακτινα περιστροφης ( radius of gyration ). Αμα θελεις θυμισε τον ορισμο, τι ειναι αυτο.

Η ροπή αδρανείας (ή δεύτερη ροπή) ως προς κέντρο

είναι το $I= \sum m_kr^2_k$ για σημειακές μάζες m_k

σε απόσταση r_k

. Η ακτίνα περιστροφής είναι ο μοναδικός $R\ge 0$ με I=mR^2

, όπου $m=\sum m_k$ . Δηλαδή έχουμε την ίδια ροπή αδρανείας με τα αρχικά βάρη αλλά τώρα με ένα σημείο, βάρους όσο όλα τα άλλα μαζί. Πρόκειται για έννοια που χρησιμοποιείται πολύ στην Δυμναμική.

Βασίλης Νεστορίδης · #8

Μιχαλη,

Σ ευχαριστω πολυ. Η αποδειξη αυτου που ειπες ειναι η ιδια με την αποδειξη του δευτερου θεματος με χρηση των ανισοισοτητων του πρωτου θεματος.

Βασιλης

Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Re: Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Re: Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Re: Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Re: Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Re: Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Re: Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Re: Μια σχολική άσκηση με προεκτάσεις

Μέλη σε σύνδεση