Ύπαρξη διαστήματος

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω συνάρτηση

συνεχής στο [a,b]

και παραγωγίσιμη στο (a,b)

.

Επίσης, έστω $k\in (a,b)$ . Να δείξετε ότι:

αν ${f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b))$ και ${f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b))$ τότε υπάρχουν

$c,d\in (a,b)$ τέτοιοι, ώστε c<k<d

και επιπλέον ${f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.$

Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι λάθος. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία. Ευχαριστώ τον κ.Δημήτρη Σκουτέρη που μου το επισήμανε. Θα επανέλθω αν καταφέρω να το διορθώσω

Διορθωμένη

Να αφαιρεθεί η συνθήκη c<k<d

. Άρα

αν ${f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b))$ και ${f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b))$ τότε υπάρχουν

$c,d\in (a,b)$ τέτοιοι, ώστε ${f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.$

mikemoke · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 12:10 am
Έστω συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο .

Επίσης, έστω $k\in (a,b)$ . Να δείξετε ότι:

αν ${f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b))$ και ${f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b))$ τότε υπάρχουν

$c,d\in (a,b)$ τέτοιοι, ώστε και επιπλέον ${f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.$

Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι λάθος. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία. Ευχαριστώ τον κ.Δημήτρη Σκουτέρη που μου το επισήμανε. Θα επανέλθω αν καταφέρω να το διορθώσω

Διορθωμένη

Να αφαιρεθεί η συνθήκη . Άρα

αν ${f}'(k)\neq sup({f}'(x)|x\in (a,b))$ και ${f}'(k)\neq inf({f}'(x)|x\in (a,b))$ τότε υπάρχουν

$c,d\in (a,b)$ τέτοιοι, ώστε ${f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}.$

Αν

το ευρύτερο δυνατό διάστημα : a<x_1<x_2<b

και

(ή και ανάποδα )
τότε ορίζουμε $f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$ και $f_2(x)=\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$ για $x\in(x_1,x_2)$
Aπό την συνέχεια των f_1,f_2

και από ΘΜΤ έχουμε ότι
για f'(k)

με

$\exists c,d$ με $[c,d]\subseteq [x_1,x_2]$ : ${f}'(k)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}$

Αν το ευρύτερο διάστημα (x_1,x_2)

επιτυγχάνεται για $x_1\in (a,a+\delta ) , x_2\in (b-\delta,b )$
και αφού $inf(f'(x))< f'(k)<sup(f'(x))\Rightarrow f'(x_1)<f'(k)<f'(x_2)$
τότε $\exists \xi _1,\xi _2 :f'(\xi _1)<f'(k)<f'(\xi _2)$ με $a<\xi _1<\xi _2<b$
με την ίδια λογική που ορίσαμε f_1,f_2

προκύπτει το ζητούμενο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm

Αν το ευρύτερο δυνατό διάστημα : και (ή και ανάποδα )

Γιατί το sup και το inf πιάνονται;

mikemoke · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 10:36 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm

Αν το ευρύτερο δυνατό διάστημα : και (ή και ανάποδα )
Γιατί το sup και το inf πιάνονται;

Mπορεί και να μην πιάνονται είναι στην δεύτερη παράγραφο . Μιλάω για την περιπτώση που πιάνοντα και τα 2 και για αυτήν που δεν πιάνεται κανένα. Ομοίως θα εργαζόμασταν και στις υπόλοιπες.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Καλή χρονιά mikemoke.

Ομολογώ ότι δεν μου είναι ξεκάθαρη η λύση σου. Συγκεκριμένα λες

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
ορίζουμε $f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$ και $f_2(x)=\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$ για $x\in(x_1,x_2)$

Επικαλείσαι τη συνέχεια αυτών και κάνεις ΘΜΤ (που;;;) για να πάρεις το ζητούμενο. Θα δώσει το ΘΜΤ το συγκεκριμένο

;

Στη δεύτερη περίπτωση πάλι θεωρείς ότι πιάνονται τα sup

και

αφού γράφεις

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Αν το ευρύτερο διάστημα επιτυγχάνεται για $x_1\in (a,a+\delta ) , x_2\in (b-\delta,b )$

και μετά ${f}'(x_{1})<{f}'(k)<{f}'(x_{2}).$

mikemoke · #6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 11:50 pm
Καλή χρονιά mikemoke.

Ομολογώ ότι δεν μου είναι ξεκάθαρη η λύση σου. Συγκεκριμένα λες

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
ορίζουμε $f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$ και $f_2(x)=\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$ για $x\in(x_1,x_2)$
Επικαλείσαι τη συνέχεια αυτών και κάνεις ΘΜΤ (που;;;) για να πάρεις το ζητούμενο. Θα δώσει το ΘΜΤ το συγκεκριμένο ;

Στη δεύτερη περίπτωση πάλι θεωρείς ότι πιάνονται τα και αφού γράφεις

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Αν το ευρύτερο διάστημα επιτυγχάνεται για $x_1\in (a,a+\delta ) , x_2\in (b-\delta,b )$
και μετά ${f}'(x_{1})<{f}'(k)<{f}'(x_{2}).$

Για την

στο

και για την f_2

στο

.Με το ΘΜΤ αντιστοιχίζω κάθε τιμή των συνόλων τιμών των f_1,f_2

με μία τιμή του συνόλου τιμών της

.

Ναι υπάρχει λάθος διατύπωση. Διόρθωση για το δεύτερο μέρος.

Αν το το ευρύτερο διάστημα είναι το (a,b)

τότε
$inf(f'(x))\leq \lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)\leq sup(f'(x))$ (τα όρια μπορεί να μην υπάρχουν)

Άρα $inf(f'(x))=inf(lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x))$ και $sup(f'(x))=sup( \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x))$

Άρα $inf(lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x))<f'(k)<sup( \lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x))$

Τότε $\exists \xi _1,\xi _2 :f'(\xi _1)<f'(k)<f'(\xi _2)$ με $a<\xi _1<\xi _2<b$ (από Darboux)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

mikemoke έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 07, 2018 1:33 am
Για την στο και για την στο .Με το ΘΜΤ αντιστοιχίζω κάθε τιμή των συνόλων τιμών των με μία τιμή του συνόλου τιμών της .

Τι σου λέει ότι αυτή η αντιστοίχιση είναι επί.
Στην ουσία αυτό ζητείται να αποδειχθεί.
Η ιδέα σου είναι στην σωστή κατεύθυνση αλλά πρέπει να την υλοποιήσεις.

mikemoke · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 08, 2018 10:46 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 07, 2018 1:33 am
Για την στο και για την στο .Με το ΘΜΤ αντιστοιχίζω κάθε τιμή των συνόλων τιμών των με μία τιμή του συνόλου τιμών της .
Τι σου λέει ότι αυτή η αντιστοίχιση είναι επί.
Στην ουσία αυτό ζητείται να αποδειχθεί.
Η ιδέα σου είναι στην σωστή κατεύθυνση αλλά πρέπει να την υλοποιήσεις.

Ορίζουμε την f_1

στο

και την

στο

$\lim_{x\to {x_1}^+}f_1(x)= f'(x_1)=inf(f'(x))$
$f_1(x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
Άρα από ΘΕΤ $(inf(f'(x),sup(f'(x))\supseteq f_1((x_1,x_2])\supseteq (inf(f'(x)),\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}]$

ομοίως για f_2

ισχύει ότι $(inf(f'(x),sup(f'(x))\supseteq f_2([x_1,x_2))\supseteq [\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},sup(f'(x)))$

inf(f'(x))<f'(k)<sup(f'(x))

Άρα από ΘΜΤ $f'(x_1,x_2)=f_1((x_1,x_2])\cup f([x_1,x_2))=(inf(f'(x)),sup(f'(x)))$

Σημ: Μπορεί να αποδειχθεί και το Darboux έτσι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Από τον ορισμό του sup,inf υπάρχουν $x_{1},x_{2}$

στο διάστημα με $f'(x_{1})< f'(k)< f'(x_{2})$

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $x_{1}< x_{2}$

Ορίζουμε την $f_{1}:[x_{1},x_{2}]\rightarrow \mathbb{R}$

με $f_{1}(x_{1})=f'(x_{1})$ και $f_{1}(x)=\dfrac{f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}},x\in (x_{1},x_{2}]$

η οποία είναι συνεχής

1)περίπτωση.
Είναι $f'(k)\leq f_{1}(x_{2})$

Από το Θ.Ε.Τ υπάρχει $t\in (x_{1},x_{2}]$

με $f_{1}(t)=\dfrac{f(t)-f(x_{1})}{t-x_{1}}=f'(k)$

2)περίπτωση $f'(k)>f_{1}(x_{2})$

δηλαδή $f'(k)> \dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}$

Θεωρούμε την $f_{2}:[x_{1},x_{2}]\rightarrow \mathbb{R}$

με $f_{2}(x_{2})=f'(x_{2})$

και $f_{2}(x)=\dfrac{f(x)-f(x_{2})}{x-x_{2}},x\in [x_{1},x_{2})$

η οποία είναι συνεχής.

Επειδή $f_{2}(x_{1})< f'(k)< f_{2}(x_{2})$

το Θ.Ε. Τ μας δίνει οτι υπάρχει $t\in (x_{1},x_{2})$

με $f_{2}(t)=\dfrac{f(t)-f(x_{2})}{t-x_{2}}=f'(k)$

Λάμπρος Κατσάπας · #10

Ευχαριστώ και τους δύο για τη συμμετοχή. Επισυνάπτω το άρθρο απ'όπου την πήρα. Έχει και ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα.

Ύπαρξη διαστήματος

Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Re: Ύπαρξη διαστήματος

Μέλη σε σύνδεση