Από τοπικά σταθερή σταθερή

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1750
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Από τοπικά σταθερή σταθερή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 31, 2017 10:46 am

Εστω I\subseteq \mathbb{R} διάστημα.

Θεωρούμε f:I\rightarrow \mathbb{R}
με την ιδιότητα

Για x\in I υπάρχει d(x)> 0
ώστε ο περιορισμός της f στο I\cap (x-d(x),x+d(x))
να είναι σταθερή συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10122
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 31, 2017 12:53 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 31, 2017 10:46 am
Εστω I\subseteq \mathbb{R} διάστημα.

Θεωρούμε f:I\rightarrow \mathbb{R}
με την ιδιότητα

Για x\in I υπάρχει d(x)> 0
ώστε ο περιορισμός της f στο I\cap (x-d(x),x+d(x))
να είναι σταθερή συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή
Αρκεί να το αποδείξουμε στα κλειστά [a, b] \subseteq I γιατί αν σε δύο x,y \in I η f είχε διαφορετικές τιμές, απλά θα εξετάζαμε ένα [a, b] \subseteq I που τα περιέχει.

Έστω λοιπόν ένα [a, b] ως άνω. Είναι \displaystyle{\displaystyle {[a, b] \subseteq \cup _{x\in [a,b]} (x-d(x),x+d(x)) }. Απο συμπάγεια η κάλυψη γίνεται από πεπερασμένα από τα εν λόγω ανοικτά διαστήματα, σε καθένα από τα οποία η f είναι σταθερή. Εξετάζοντας τα κοινά σημεία τέτοιων ανοικτών διαστημάτων, εύκολα βλέπουμε ότι η f είχει παντού την ίδια/κοινή σταθερή τιμή.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Δεκ 31, 2017 8:20 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 31, 2017 10:46 am
Εστω I\subseteq \mathbb{R} διάστημα.

Θεωρούμε f:I\rightarrow \mathbb{R}
με την ιδιότητα

Για x\in I υπάρχει d(x)> 0
ώστε ο περιορισμός της f στο I\cap (x-d(x),x+d(x))
να είναι σταθερή συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή
Έστω I=(a,b). Επιλέγουμε ένα x_{0}\in (a,b) και θέτουμε

A=\left \{ x\in(a,b)|f(x)=f(x_{0}) \right \}.

Το A είναι μη κενό αφού x_{0}\in A και άνω-κάτω φραγμένο από τα a,b αντίστοιχα.

Επομένως υπάρχει το infA και το supA και προφανώς infA\geq a, supA\leq b.

Θα δείξουμε ότι infA= a και  supA= b απ'όπου παίρνουμε κατευθείαν το ζητούμενο.

Έστω infA > a. Επειδή infA\in (a,b) θα υπάρχει d>0

τέτοιο, ώστε στο (infA-d,infA+d)\bigcap (a,b) η f να είναι σταθερή. Επειδή για κάθε

x\in(infA,infA+d)\bigcap (a,b) είναι f(x)=f(x_{0}) παίρνουμε επίσης ότι

για κάθε x\in(infA-d,infA]\bigcap (a,b) είναι f(x)=f(x_{0}) το οποίο είναι άτοπο αφού έρχεται σε

αντίθεση με το γεγονός ότι το infA είναι κάτω φράγμα του A. Άρα infA=a.

Όμοια δείχνουμε ότι  supA= b όπως επίσης και τις υπόλοιπες περιπτώσεις για το  I.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1750
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 31, 2017 8:37 pm

Να σημειώσω ότι το γενικό είναι:

Εστω (X,T) τοπολογικός χώρος που είναι συνεκτικός και

f:X\rightarrow Y

με την ιδιότητα

Αν x\in X υπάρχει U_{x} ανοικτό με x\in U_{x}

ώστε f/U_{x} να είναι σταθερή

τότε η f είναι σταθερή


Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι το σύνολο \left \{ x\in X:f(x)=f(x_{0}) \right \}
όπου x_{0}\in X

είναι ανοικτό και κλειστό συγχρόνως και επειδή είναι μη κενό η συνεκτικότητα δίνει ότι

X=\left \{ x\in X:f(x)=f(x_{0}) \right \}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7749
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιαν 01, 2018 4:04 pm

Για την αρχική άσκηση μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x \in I με f'(x) = 0. Άρα η f είναι σταθερή στο I.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1750
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 01, 2018 8:54 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Ιαν 01, 2018 4:04 pm
Για την αρχική άσκηση μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x \in I με f'(x) = 0. Άρα η f είναι σταθερή στο I.
Πολύ ωραία Δημήτρη.
Είχα την εντύπωση ότι λύνεται με σχολικά μαθηματικά αλλά δεν είχα απόδειξη.
Χάρη σε εσένα έχω.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 464
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Κυρ Ιαν 07, 2018 5:26 am

Και εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης