Θετικό πολυώνυμο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται το πολυώνυμο αρτίου βαθμού

$p(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+.....+a_{0},n\geq1$

με την ιδιότητα

Για $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $p(x)\geq 0$

Θέτουμε $f(x)=p(x)+p'(x)+....+p^{(2n)}(x)=\sum_{k=0}^{2n}p^{(k)}(x)$

( $p^{(k)}(x)$ είναι η

παράγωγος)

Να δειχθεί ότι για $x\in \mathbb{R}$

ισχύει f(x)> 0

#2

Παρατηρώ ότι f(x) - f'(x) = p(x)

. Οπότε $(f(x)e^{-x})' = e^{-x}(f'(x) - f(x)) = -e^{-x}p(x) \leqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Άρα η συνάρτηση $f(x)e^{-x}$ είναι φθίνουσα. Επειδή $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)e^{-x} = 0$ πρέπει $f(x)e^{-x} \geqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Επίσης πρέπει $f(x)e^{-x} > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ αφού αν π.χ. $f(a)e^{-a} = 0$ για κάποιο $a \in \mathbb{R}$ , τότε θα είχαμε $f(x)e^{-x} = 0$ για κάθε $x \geqslant a$ . Αυτό δίνει f(x) = 0

για κάθε $x \geqslant a$ . Όμως το f(x)

είναι πολυώνυμο βαθμού

, άτοπο.

Άρα έχουμε και f(x) > 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση τυπογραφικού. Ευχαριστώ τον Λάμπρο Κατσάπα που το πρόσεξε.

#3

Και μία λύση βασισμένη στην ιδέα του ποστ μου εδώ αλλά δίνει μόνο $f(x)\ge 0$ αντί του ζητούμενου f(x) >0

.

Το

ως πολυώνυμο άρτιου βαθμού έχει ολικό ελάχιστο, έστω στο x_o

, οπότε

. Άρα για κάθε

έχουμε

$f(x) \ge f(x_o)= f(x_o) -f'(x_o)= p(x_o) \ge 0$ , όπως "θέλαμε".

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 23, 2017 6:42 pm
Παρατηρώ ότι . Οπότε $(f(x)e^{-x})' = e^{-x}(f'(x) - f(x)) = -e^{-x}p(x) \leqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Άρα η συνάρτηση $f(x)e^{-x}$ είναι φθίνουσα. Επειδή $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)e^{-x} = 0$ πρέπει $f(x)e^{-x} \geqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Επίσης πρέπει $f(x)e^{-x} \geqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ αφού αν π.χ. $f(a)e^{-a} = 0$ για κάποιο $a \in \mathbb{R}$ , τότε θα είχαμε $f(x)e^{-x} = 0$ για κάθε $x \geqslant a$ . Αυτό δίνει για κάθε $x \geqslant a$ . Όμως το είναι πολυώνυμο βαθμού , άτοπο.

Άρα έχουμε και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Μπορούμε να το τελειώσουμε πιο γρήγορα.

Το f(x)

είναι πολυώνυμο αρτίου βαθμού.

Επίσης η $f(x)e^{-x}$ είναι γνησίως φθίνουσα μιας και το p(x)

μηδενίζεται σε πεπερασμένο
πλήθος σημείων.

Τα $\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{-x}f(x)=\infty ,\lim_{x\rightarrow \infty }e^{-x}f(x)=0$

μας δίνουν το ζητούμενο.

#5

$\displaystyle{f-f'=p \ge 0}$ άρα $\displaystyle{1/f-f'/f^2\ge 0}$ άρα $\displaystyle{e^x/f-e^x/f^2\ge 0}$ 'αρα $\displaystyle{(e^x/f)'\ge 0}$ άρα $\displaystyle{0=\lim_{x\to -\infty}{e^x/f(x)}\le e^x/f(x)}$ αμεσα το ζητούμενο
Η λύση ισχυει αν $\displaystyle{f\ne 0}$ αν το $\displaystyle{f}$ έχει ρίζα τότε ακολουθούμε τον τρόπο του Μιχάλη η του Δημήτρη
(Συγνώμη για την αβλεψία)

Θετικό πολυώνυμο

Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση