Σελίδα 1 από 1

Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm
από mikemoke
Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 02, 2017 7:15 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm
Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;
Πας πολύ βαθιά.

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι αρνητική.

Κάποια πράγματα μπορείς να δεις στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function

Εκεί θα δεις και το όνομα του Κεχρή κόσμημα για τα Ελληνικά Μαθηματικά αλλά άγνωστος στην Ελλάδα.


Το δεύτερο ερώτημα είναι πιο απλό(σε παράθεση με το πρώτο)

Πάρε την f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0

Η παράγωγος της είναι ασυνεχής στο 0

(απόδειξε το να κάνεις και εσύ κάτι)

Με βάση το προηγούμενο μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση που η παράγωγος της είναι

ασυνεχής σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

Αν έχεις κάποια απορία εδώ είμαστε να σου την λύσουμε

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 02, 2017 9:06 pm
από mikemoke
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 7:15 pm
mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm
Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;
Πας πολύ βαθιά.

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι αρνητική.

Κάποια πράγματα μπορείς να δεις στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function

Εκεί θα δεις και το όνομα του Κεχρή κόσμημα για τα Ελληνικά Μαθηματικά αλλά άγνωστος στην Ελλάδα.


Το δεύτερο ερώτημα είναι πιο απλό(σε παράθεση με το πρώτο)

Πάρε την f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0

Η παράγωγος της είναι ασυνεχής στο 0

(απόδειξε το να κάνεις και εσύ κάτι)

Με βάση το προηγούμενο μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση που η παράγωγος της είναι

ασυνεχής σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

Αν έχεις κάποια απορία εδώ είμαστε να σου την λύσουμε
Γνωρίζω το παράδειγμα της f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0
\displaystyle{ 
f'(x)= 
-cos\frac{1}{x}+2xsin\frac{1}{x} 
\forall x\neq 0 
}
f'(0)=0 όταν x=0

το όριο στο 0 της f' δεν υπάρχει

Μπορεί το πλήθος των σημείων ασυνέχειας να μην είναι πεπερασμένο όπως εδώ:https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

Μια απορία που έχω είναι ποια είναι η περίπτωση της πιο ασυνεχής f' ,αυτής με το μεγαλύτερο πλήθος σημείων ασυνέχειας .

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 02, 2017 9:53 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 9:06 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 7:15 pm
mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm
Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;
Πας πολύ βαθιά.

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι αρνητική.

Κάποια πράγματα μπορείς να δεις στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function

Εκεί θα δεις και το όνομα του Κεχρή κόσμημα για τα Ελληνικά Μαθηματικά αλλά άγνωστος στην Ελλάδα.


Το δεύτερο ερώτημα είναι πιο απλό(σε παράθεση με το πρώτο)

Πάρε την f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0

Η παράγωγος της είναι ασυνεχής στο 0

(απόδειξε το να κάνεις και εσύ κάτι)

Με βάση το προηγούμενο μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση που η παράγωγος της είναι

ασυνεχής σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

Αν έχεις κάποια απορία εδώ είμαστε να σου την λύσουμε
Γνωρίζω το παράδειγμα της f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0
\displaystyle{ 
f'(x)= 
-cos\frac{1}{x}+2xsin\frac{1}{x} 
\forall x\neq 0 
}
f'(0)=0 όταν x=0

το όριο στο 0 της f' δεν υπάρχει

Μπορεί το πλήθος των σημείων ασυνέχειας να μην είναι πεπερασμένο όπως εδώ:https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

Μια απορία που έχω είναι ποια είναι η περίπτωση της πιο ασυνεχής f' ,αυτής με το μεγαλύτερο πλήθος σημείων ασυνέχειας .


Μια απορία που έχω είναι ποια είναι η περίπτωση της πιο ασυνεχής f' ,αυτής με το μεγαλύτερο πλήθος σημείων ασυνέχειας


πας ακόμα πιο βαθιά. Το μεγαλύτερο θέλει μαθηματική διευκρίνιση. Σε αυτές τις περιπτώσεις το μεγαλύτερο μεταφράζεται σε σύνολο δεύτερης κατηγορίας η σε σύνολο με μεγαλύτερο μέτρο.

Το θέμα δεν το γνωρίζω. Σίγουρα ξεπερνάει τις γνώσεις σου.

Επειδή μου κίνησες το ενδιαφέρον θα το ψάξω.
Αν βρω κάτι ενδιαφέρον θα το γράψω.

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 03, 2017 3:30 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Το παρακάτω είναι απόσπασμα από το βιβλίο
A second course
on real function
A.C.M VAN ROOIJ AND W.H.SCHIKHOF
(το βιβλίο αυτό το έμαθα από τον Μιχάλη Λάμπρου το 1985)
https://books.google.gr/books?id=Cqk5AA ... le&f=false

Αν δούμε το EXAMPLE 13.2
Υπάρχει συνάρτηση που η παράγωγος της δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κανένα διάστημα.
Ετσι το Lebesgue μέτρο των σημείων που η παράγωγος δεν είναι συνεχής είναι θετικό.

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 05, 2017 10:27 am
από mikemoke
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 03, 2017 3:30 pm
Το παρακάτω είναι απόσπασμα από το βιβλίο
A second course
on real function
A.C.M VAN ROOIJ AND W.H.SCHIKHOF
(το βιβλίο αυτό το έμαθα από τον Μιχάλη Λάμπρου το 1985)
https://books.google.gr/books?id=Cqk5AA ... le&f=false

Αν δούμε το EXAMPLE 13.2
Υπάρχει συνάρτηση που η παράγωγος της δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κανένα διάστημα.
Ετσι το Lebesgue μέτρο των σημείων που η παράγωγος δεν είναι συνεχής είναι θετικό.
Σχετικές πληροφορίες υπάρχουν και εδώ :https://groups.google.com/forum/#!msg/s ... EQ0HVpoj4J
https://groups.google.com/forum/#!msg/s ... mRLJmd0xsJ

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 23, 2017 1:00 am
από R BORIS
από μια παλιά εργασία
4 Eme Darboux.doc
(250.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 143 φορές