Ρίζα και λογάριθμος

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10088
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ρίζα και λογάριθμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 20, 2017 9:16 pm

Λογάριθμοι  και  ρίζες.png
Λογάριθμοι και ρίζες.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές
Είναι σχετικά απλό ( κάντε το ! ) να δείξουμε , ότι \forall x>0 , είναι : \sqrt{x}>ln(x+1) .

Αν όμως πάρουμε τη συνάρτηση g(x)=aln(x+1) , τότε για κάποια a ( μεγαλύτερα

του 1 ) , συναρτήσεις f(x)=\sqrt{x} και g(x) έχουν τουλάχιστον ένα ακόμη κοινό σημείο .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή αυτού του a . Στο σχήμα η C_{g} είναι η κόκκινη .



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ρίζα και λογάριθμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Νοέμ 20, 2017 10:24 pm

Το ελάχιστο a>1 μπορεί να βρεθεί από την επίλυση της εξίσωσης min(f(x)-g(x))=0.. Από μελέτη της

διαφοράς βρίσκουμε ότι για x^{*}=-1+2a^{2}+2\sqrt{a^{4}-a^{2}} έχουμε ελάχιστη τιμή την f(x^{*}).

Λύνοντας (με χρήση προγράμματος φυσικά) την f(x^{*})=0 βρίσκουμε ότι mina\approx 1.24263
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Τρί Νοέμ 21, 2017 11:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10088
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ρίζα και λογάριθμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 21, 2017 7:43 am

Αφορμή για τη δημοσίευση απετέλεσε η παρατήρηση , ότι για a=\dfrac{2}{ln5}\simeq1.24267 , οι δύο

συναρτήσεις έχουν κοινό σημείο το S(4,2) ,( έχουν όμως ένα ακόμη με τετμημένη x\simeq3.84477 ).

Είναι φανερό ότι για την περίπτωση της ύπαρξης ενός μόνο επιπλέον κοινού σημείου ( εκτός του (0,0) ) ,

οπότε οι καμπύλες θα εφάπτονται , η λύση είναι αυτή του Λάμπρου με a\simeq 1.24263376

και τότε το S έχει συντεταγμένες περίπου τις : ( 3.92 , 1.98 )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες