Άσκηση στα όρια (4)

Συντονιστής: emouroukos

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Άσκηση στα όρια (4)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Πέμ Νοέμ 02, 2017 8:47 pm

Έστω \rm f,g δύο συναρτήσεις με \displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}g(x)=0} και \rm \displaystyle{\lim_{x\to x_0}(f^3(x)+g(x)f(x))=0}. Είναι πάντα αληθές ότι \displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}f(x)=0};

Προσπάθησα αρκετά να βρω λύση σχολική, με αλγεβρική ανάλυση που λέει κι ο Σταύρος Παπαδόπουλος αλλού, αλλά χωρίς επιτυχία. Κάθε λύση ευπρόσδεκτη, αλλά θα ήθελα να δω μια σχολική λύση. :)


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση στα όρια (4)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 02, 2017 10:02 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Πέμ Νοέμ 02, 2017 8:47 pm
Έστω \rm f,g δύο συναρτήσεις με \displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}g(x)=0} και \rm \displaystyle{\lim_{x\to x_0}(f^3(x)+g(x)f(x))=0}. Είναι πάντα αληθές ότι \displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}f(x)=0};
Ναι, αληθεύει:

Αφού  \lim_{x\to x_0}g(x)=0, υπάρχει περιοχή του x_0 όπου |g(x)|\le 1 για κάθε x στην περιοχή.

Όμοια σε περιοχή του x_0 ισχύει | f^3(x)+g(x)f(x)| \le 1 και άρα

|f(x)|^3 = |f^3(x)| \le | f^3(x)+g(x)f(x)|+ |g(x)f(x)| \le 1 + |g(x)||f(x)| \le 1 +|f(x)| \, (*)

Έπεται ότι |f(x)| < 2 γιατί αν για κάποιο x ήταν |f(x)| \ge 2 τότε

|f(x)|^3 \ge 2 |f^2(x)| = ( 2|f(x)|+1)(|f(x)|-1) + 1 +|f(x)| \ge (4+1)\cdot 1+ 1 +|f(x)|  >   1 +|f(x)|

που αντιβαίνει στην (*).

Έτσι

0\le |f(x)|^3 \le | f^3(x)+g(x)f(x)|+ |g(x)f(x)| \le | f^3(x)+g(x)f(x)|+ 2|g(x)| \to 0+0 , όπως θέλαμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση στα όρια (4)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 02, 2017 10:05 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Πέμ Νοέμ 02, 2017 8:47 pm
Έστω \rm f,g δύο συναρτήσεις με \displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}g(x)=0} και \rm \displaystyle{\lim_{x\to x_0}(f^3(x)+g(x)f(x))=0}. Είναι πάντα αληθές ότι \displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}f(x)=0};

Προσπάθησα αρκετά να βρω λύση σχολική, με αλγεβρική ανάλυση που λέει κι ο Σταύρος Παπαδόπουλος αλλού, αλλά χωρίς επιτυχία. Κάθε λύση ευπρόσδεκτη, αλλά θα ήθελα να δω μια σχολική λύση. :)
Φυσικά και είναι σωστό.

Εστω \varepsilon > 0

Από τον ορισμό του ορίου υπάρχουν

\delta _{1}> 0

με 0< \left | x-x_{0} \right |< \delta _{1}\Rightarrow \left | f^{3}(x)+g(x)f(x) \right |< \varepsilon ^{3}

\delta _{2}> 0

με 0< \left | x-x_{0} \right |< \delta _{2}\Rightarrow \left | g(x) \right |< \varepsilon ^{2}

παίρνοντας\delta =min(\delta _{1},\delta _{2})

συμπεραίνουμε ότι

0< \left | x-x_{0} \right |< \delta \Rightarrow \left | g(x) \right |< \varepsilon ^{2}and\left | f^{3}(x)+g(x)f(x) \right |< \varepsilon ^{3}

Επειδή \left | f^{3}(x) \right |\leq \left | f^{3}(x)+g(x)f(x) \right |+\left | g(x)f(x) \right |
έχουμε ότι

0< \left | x-x_{0} \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x) \right |^{3}\leq \varepsilon ^{3}+\varepsilon ^{2}\left | f(x) \right |

Αλλά η \left | f(x) \right |^{3}\leq \varepsilon ^{3}+\varepsilon ^{2}\left | f(x) \right |

μας δίνει ότι \left | f(x) \right |< 2\varepsilon

Γιατί αν \left | f(x) \right |\geq2\varepsilon τότε

\left | f(x) \right |^{3}=\frac{1}{2}\left | f(x) \right |^{3}+\frac{1}{2}\left | f(x) \right |^{3}\geq \frac{1}{2}(2\varepsilon )^{3}+\left | f(x) \right |\frac{1}{2}(2\varepsilon )^{2}> \varepsilon ^{3}+\varepsilon ^{2}\left | f(x) \right |

ΑΤΟΠΟ.

Αρα 0< \left | x-x_{0} \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x) \right |<2\varepsilon

και τελειώσαμε.

Η παραπάνω απόδειξη βασίζεται μόνο στον ορισμό του ορίου.
Με κανονικές συνθήκες θα έπρεπε να ήταν σχολική.
Με τις υπάρχουσες .........


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Άσκηση στα όρια (4)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Παρ Νοέμ 03, 2017 12:55 am

Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας. Νομίζω πως η λύση του Μιχάλη είναι αυτό που έψαχνα. Σταύρο συμφωνώ με το σχόλιό σου. Είναι μια συζήτηση που πρέπει να ανοίξει. Ας γράψω τη σκέψη μου:

Αρκεί να δείξω ότι η \rm f είναι φραγμένη κοντά στο \rm x_0. Διαφορετικά υπάρχει ακολουθία \rm (x_n) με όρους διαφορετικούς του \rm x_0 ώστε \rm x_n\to x_0 και \rm |f(x_n)|\to +\infty. Τότε \rm g(x_n)\to 0 οπότε \rm |f^3(x_n)+g(x_n)f(x_n)|=|f(x_n)||f^2(x_n)+g(x_n)|\to +\infty, άτοπο.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης