Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

Συντονιστής: emouroukos

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Ιούλ 08, 2017 9:26 am

Μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα D \subseteq \mathbb{R} λέγεται ομοιόμορφα παραγωγίσιμη στο D αν, για κάθε \epsilon > 0, υπάρχει \delta > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x, y \in D ισχύει \displaystyle 0 < |x-y| < \delta \implies \left| \frac{f(x) - f(y)}{x-y} - f'(x) \right| < \epsilon. Να αποδειχθεί ότι η f είναι ομοιόμορφα παραγωγίσιμη στο D αν και μόνο αν η παράγωγός της είναι ομοιόμορφα συνεχής στο D.

(Bartle & Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th Ed.)
τελευταία επεξεργασία από dement σε Σάβ Ιούλ 08, 2017 11:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιούλ 08, 2017 10:53 am

Καλημέρα.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω y>x.

(\Leftarrow ) Έστω \varepsilon >0. Υπάρχει \delta >0 τέτοιο, ώστε για κάθε x,y\epsilon D ισχύει 0<|y-x|<\delta \Rightarrow |{f}'(y)-{f}'(x))|<\varepsilon. Από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει \xi \epsilon (x,y) τέτοιο, ώστε {f}'(\xi )=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}. Επομένως, |\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-{f}'(x)|=|{f}'(\xi )-{f}'(x)|<\varepsilon .

(\Rightarrow ) |\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-{f}'(x)|<\varepsilon \Rightarrow \lim_{x\rightarrow y}|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-{f}'(x)|\leq \varepsilon \Rightarrow |{f}'(y)-{f}'(x)|\leq \varepsilon. Άρα η παράγωγος είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Το δεύτερο από απροσεξία μου είναι λάθος.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Ιούλ 08, 2017 11:16 am

Το λάθος είναι και δικό μου, Λάμπρο, από απροσεξία ξέχασα να γράψω ότι το D είναι διάστημα. Διορθώνω.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Σάβ Ιούλ 08, 2017 11:33 am

Ἐπιπλέον ὑπόθεση: D διάστημα.

A. Ἔστω f:D\to\mathbb R διαφορίσιμη καὶ f' ὁμοιόμορφα συνεχής, δηλαδή, διὰ κάθε \varepsilon>0, ὑπάρχει \delta=\delta(\varepsilon)>0, ὥστε
\displaystyle{ 
|x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f'(x)-f'(y)|<\varepsilon, 
}
καὶ ἔστω x,y\in, ὥστε |x-y|<\delta. Τότε ὑπάρχει \xi\in (x,y), ὥστε
\displaystyle{ 
\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)=f'(\xi)-f'(x), 
}
ὁπότε |x-\xi|<|x-y|<\delta, καὶ συνεπῶς
\displaystyle{ 
\varepsilon>|f'(\xi)-f'(x)|=\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right|. 
}

B. Ἔστω ὅτι διὰ κάθε \varepsilon>0, ὑπάρχει \delta=\delta(\varepsilon)>0, ὥστε
\displaystyle{ 
|x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right|<\varepsilon, 
}
Tότε,
\displaystyle{ 
|x-y|<\delta(\varepsilon/2)\quad\Longrightarrow\quad 
\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right|<\varepsilon/2\,\,\&\,\, 
\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(y)\right|<\varepsilon/2 
}
καὶ ἄρα, χάριν τῆς τριγωνικῆς ἀνισότητος
\displaystyle{ 
|x-y|<\delta(\varepsilon/2)\quad\Longrightarrow\quad 
\left|f'(x)-f'(y)\right|<\varepsilon. 
}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης