Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2578
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Δεκ 04, 2016 11:19 am

Η ερώτηση αφορά τη συνάρτηση f(x) =  \left\{ \begin{matrix} 
	2x^2 , & \quad |x|\leq 1\\ 
	\frac{2}{x} , & \quad |x|>1 
	\end{matrix}\right.
και απευθύνεται σε μαθητές Γ΄λυκείου, σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο.

Το ερώτημα είναι : Είναι συνεχής στο διάστημα [-1,1] ?

Η απάντηση: Είναι συνεχής στο διάστημα [-1,1] ,διότι είναι πολυωνυμική στο [-1,1] θεωρείτε ότι είναι ή δεν είναι πλήρης?


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 04, 2016 11:57 am

Ναι είναι πλήρης.

Διαφοροποιείται η απάντηση αν είχαμε την ,

\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
2{x^2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} |x| < 1\\ 
\frac{2}{x}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} |x| \ge 1 
\end{array} \right.}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Δεκ 04, 2016 2:02 pm

Παραμένει το γεγονός ότι δεν είναι συνεχής στο -1 \in [-1,1].

Επανέρχεται το πανάρχαιο ερώτημα: Η f είναι συνεχής στο A αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του A ή αν ο περιορισμός της στο A είναι συνεχής;


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 04, 2016 6:47 pm

dement έγραψε:Παραμένει το γεγονός ότι δεν είναι συνεχής στο -1 \in [-1,1].

Επανέρχεται το πανάρχαιο ερώτημα: Η f είναι συνεχής στο A αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του A ή αν ο περιορισμός της στο A είναι συνεχής;
Συγνώμη Δημήτρη αλλά γιατί δεν είναι συνεχής στο -1;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Δεκ 04, 2016 6:58 pm

Christos.N έγραψε:
dement έγραψε:Παραμένει το γεγονός ότι δεν είναι συνεχής στο -1 \in [-1,1].

Επανέρχεται το πανάρχαιο ερώτημα: Η f είναι συνεχής στο A αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του A ή αν ο περιορισμός της στο A είναι συνεχής;
Συγνώμη Δημήτρη αλλά γιατί δεν είναι συνεχής στο -1;
\displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) =- 2 \neq 2 = f(-1)


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4311
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Δεκ 04, 2016 7:07 pm

Σωτήρη σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο για να είνα συνεχής στο [-1,1] πρέπει να είναι συνεχής στα εσωτερικά σημεία, από τα δεξιά συνεχής στο -1 και από τα αριστερά στο 1 (όπερ το αυτό να είναι ο περιορισμός της στο [-1,1] να είναι συνεχής συνάρτηση). Μια πολυωνυμική στο [-1,1] έχει αυτή την ιδιότητα. Θα θεωρούσα λοιπόν την απάντηση επαρκή. Η επανάληψη του ορισμού του σχολικού βήμα βήμα μοιάζει με καψόνι. Θεωρώ δε (κάπου το έχω ξαναγράψει) ότι ο ορισμός αυτός αποτελεί μια κακοτεχνία του βιβλίου. Αν έδιναν τον ορισμό περιορισμού και επέκτασης συνάρτησης (υπήρχε σε παλαιότερα βιβλία) θα είχαμε τον απλό που αναφερει και ο Δημήτρης.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 04, 2016 7:08 pm

Νομίζω ότι θα σε πείσω αν σου υπενθυμίσω

αυτό:
Καταγραφή1.PNG
Καταγραφή1.PNG (142.78 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές
το οποίο συνοδεύεται απο αυτό το σχήμα:
Καταγραφή2.PNG
Καταγραφή2.PNG (76.69 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Δεκ 04, 2016 7:12 pm

Δεν έχω αντίρρηση ότι ικανοποιείται ο ορισμός του σχολικού βιβλίου για τη "συνέχεια σε κλειστό διάστημα", όπως πιστεύω να μην έχεις κι εσύ ότι το -1 είναι σημείο ασυνέχειας. Αυτό που με προβληματίζει (και ξανασυζητήθηκε περίπου πριν 6 μήνες) είναι ακριβώς το δόκιμο του ορισμού.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 04, 2016 7:16 pm

Προφανώς αλλά σε οποιοδήποτε διάστημα στο οποίο το -1 είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος ή δεξί άκρο


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Δεκ 04, 2016 7:49 pm

Ακριβώς. Η f δεν είναι συνεχής στο -1. Ο περιορισμός της στο [-1,1] (που είναι μία διαφορετική συνάρτηση) είναι. Μέχρι εδώ καλά.

Ο μαθητής μαθαίνει ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σύνολο αν ο περιορισμός της σε αυτό το σύνολο είναι συνεχής.

Τα προβλήματα έρχονται στο πανεπιστήμιο, όταν ο φοιτητής (πλέον) θα μάθει στην τοπολογία ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε σύνολο αν και μόνο αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (η αρχική συνάρτηση, όχι κάποιος περιορισμός της). Αυτή η αναντιστοιχία είναι που δεν μου αρέσει.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2578
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια σε διάστημα Γ λυκείου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Δεκ 04, 2016 10:33 pm

Μάλλον, κλείνοντας να πω ότι κι εγώ τη θεωρώ εντάξει την απάντηση, στη λογική του περιορισμού της συνεχούς πολυωνυμικής συνάρτησης, αλλά ήθελα να δω και αντιδράσεις γενικότερα από ανθρώπους που διορθώνουν Πανελλαδικές. Εκεί είναι η μόνη χρησιμότητά της και σε σχέση με τον (μάλλον κακό) ορισμό που δίνει το βιβλίο.

ΥΓ: Η ερώτηση προήλθε από απάντηση σε διαγώνισμα έπειτα από πολλές επισημάνσεις στα σχετικά μαθήματα της ιδιαιτερότητας που χρήζει ο ορισμός του βιβλίου.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης