Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

Συντονιστής: emouroukos

dimplak
Δημοσιεύσεις: 580
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 29, 2016 9:25 am

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R \rightarrow R για την οποία ισχύει ότι f''(x) > \frac{1}{x^2 + 1} .

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ασύμπτωτες.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 29, 2016 6:46 pm

Θα δείξω ότι δεν έχει ασύμπτωτη στο +\infty
(όμοία δουλεύουμε και στο -\infty)

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0(1)
(αλλιώς αφαιρούμε την ασύμπτωτη)

Επειδή η f είναι κυρτή έχουμε ότι \lim_{x\rightarrow \infty }xf'(x)=0(*)
Αποδ.
Απο ΘΜΤ έχουμε f(2x)-f(x)=xf'(c),x< c< 2x(2)

Αλλά αφού f' αύξουσα

έχουμε ότι xf'(c)\geq xf'(x)\wedge xf'(c)\leq xf'(2x)

Αυτές μαζί με την (2) και το ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(2x)-f(x)=0


μας δίνουν το ζητούμενο.//


Απο ΘΜΤ για την xf'(x) έχουμε

2xf'(2x)-xf'(x)=x(cf''(c)+f'(c)),x<c<2x

παίρνοντας όριο για x\rightarrow \infty εχούμε ότι

\liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)+xf'(x)\leq0

Αρα λόγω της(*) \liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)\leq0


Δείξαμε λοιπόν ότι αν η f είναι κυρτή και \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0
δηλαδή έχει την y=0 ασύπτωτη τότε

\liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)\leq0

Για την συνάρτηση που έχουμε είναι \liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)\geq1 και κυρτή άρα δεν μπορεί να έχει ασύμπτωτη.

Συμπλήρωμα.1)Εσβησα κάτι από το κείμενο που δεν ήταν ορθό αλλά και δεν χρειαζόταν .
2)Επειδή f''(x)\geq 0 (κυρτότητα) τελικά είναι \liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)=0
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τρί Νοέμ 29, 2016 10:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Νοέμ 29, 2016 7:02 pm

Διαφορετικά:
Για κατακόρυφες δεν γίνεται λόγος αφού εκεί η f δεν θα ήταν συνεχής.

Έστω y = ax + b ασύμπτωτη στο + \infty (ομοίως για το - \infty με την f(-x)).

Θεωρούμε την \displaystyle g(x) \equiv f(x) - ax - x \left( \tan^{-1}x - \frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) η οποία είναι γνησίως κυρτή από το δεδομένο.
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι \displaystyle \lim_{x \to + \infty} x \left( \tan^{-1}x - \frac{\pi}{2} \right) = -1.

Έχουμε \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \left( g(x) - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \right) = \lim_{x \to + \infty} \left( f(x) - ax - x \left( \tan^{-1}x - \frac{\pi}{2} \right) \right) =
= b + 1, οπότε ισχύει \displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty. Aυτό όμως, μαζί με την κυρτότητα της g, συνεπάγεται ότι, για μεγάλα x, η \displaystyle g(x) - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) γίνεται κυρτή και αύξουσα οπότε \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \left( g(x) - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \right) = + \infty \neq b+1 και έχουμε άτοπο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες