mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 08, 2016 11:45 pm**

Αν $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$ και $|h(x)| \leqslant M$ για κάθε

τότε να δειχθεί ότι $\lim\limits_{x \to 0} g(x)h(x)=0$ και να δειχθεί με τον ε-δ ορισμό.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:03 am**

Για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 ώστε $|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{2M}$ . Άρα θα είναι $|x|<\delta \Rightarrow |g(x)h(x)|=|g(x)||h(x)|\leq \frac{\epsilon}{2M}M=\frac {\epsilon}{2}<\epsilon$ το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:16 am**

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:Για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 ώστε $|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{{\color {red} 2M}}$ . Άρα θα είναι $|x|<\delta \Rightarrow |g(x)h(x)|=|g(x)||h(x)|\leq \frac{\epsilon}{2M}M=\frac {\epsilon}{2}<\epsilon$ το ζητούμενο.

Θα συμβούλευα να μην δίνουμε λύσεις σε απλές ασκήσεις που είναι προφανώς "ασκήσεις στο σπίτι" σε μαθήματα που παρακολουθεί κανείς. Αλλιώς ΔΕΝ τον βοηθάμε να μάθει Μαθηματικά. Του κάνουμε περισσότερη ζημιά από καλό, ιδίως σε περιπτώσεις σαν την παραπάνω που η άσκηση είναι σχεδόν τετριμμένη.

Αν πάλι επιμένουμε να δίνουμε λύσεις, τότε ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ πρέπει να είναι σωστές: Στην παραπάνω λύση έχουμε πρόβλημα στο σημείο που σημείωσα με κόκκινο, αν τύχει και το

ισούται με

.

Τέλος, ας μην ξεχνάμε ότι ΔΕΝ ΑΠΑΝΤΑΜΕ σε θέματα που δεν είναι γραμμένα σε latex, όπως ορίζουν οι κανονισμοί μας.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:19 am**

Και η σωστή εκδοχή ποιά είναι τελικά;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:20 am**

oxynous78 έγραψε:Και η σωστή εκδοχή ποιά είναι τελικά;

Πρώτα απ' όλα δες την τελευταία γραμμή στο μήνυμά μου, από την λέξη "Τέλος" και πέρα.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:24 am**

Αν Μ=0 είναι τετριμμένο το ζητούμενο. Ζήτω η αυστηρότητα! Έχετε δίκιο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:34 am**

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:Αν Μ=0 είναι τετριμμένο το ζητούμενο. Ζήτω η αυστηρότητα! Έχετε δίκιο.

Τα Μαθηματικά είναι Μαθηματικά και η πληρότητα απαραίτητη.

Πιο καλά, για να μην διακρίνουμε την περίπτωση M=0

ή όχι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το βήμα

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{2M}$

με το

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{M+1}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:41 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε:
χρηστος ευαγγελινος έγραψε:Αν Μ=0 είναι τετριμμένο το ζητούμενο. Ζήτω η αυστηρότητα! Έχετε δίκιο.
Τα Μαθηματικά είναι Μαθηματικά και η πληρότητα απαραίτητη.

Πιο καλά, για να μην διακρίνουμε την περίπτωση ή όχι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το βήμα

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{2M}$

με το

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{M+1}$

Σε αυτό θα πρέπει να αφιερώσουμε ακόμα λίγη (πολύ λίγη) σκέψη ώστε να δικαιολογήσουμε το $\frac{M}{M+1}<1$ που είναι τόσο προφανές, όσο και η τετριμμένη περίπτωση Μ=0.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:47 am**

Θεωρώ στα παραπάνω ότι η σχέση
$\left | x \right |< \delta$
πρέπει να αντικατασταθεί από την
$0< \left | x \right |< \delta$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 12:59 am**

χρηστος ευαγγελινος έγραψε: Σε αυτό θα πρέπει να αφιερώσουμε ακόμα λίγη (πολύ λίγη) σκέψη ώστε να δικαιολογήσουμε το $\frac{M}{M+1}<1$ που είναι τόσο προφανές, όσο και η τετριμμένη περίπτωση Μ=0.

Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Αν δεις το αρχικό μου μήνυμα λέω ότι ΟΛΗ η άσκηση είναι τεριμμένη, πόσο μάλλον το επιμέρους βήμα.

Το νόημα της παρέμβασής μου ήταν ότι στην δοθείσα λύση υπάρχει κενό, ανεξάρτητα από το πόσο απλό είναι να διευθετηθεί. Πρέπει όμως να αναφερθεί η εν λόγω περίπτωση, για λόγους πληρότητας.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 09, 2016 1:06 am**

Και βέβαια έπρεπε να αναφερθεί, συμφωνώ. Πολύ ωραία. Άρα τώρα έχουμε δύο λύσεις. Μία με περιπτώσεις (Μ=0 ή Μ όχι μηδέν) και μία που δε χρειάζεται η διάκρισή τους, βάζοντας για παρονομαστή το Μ+1.

mathematica.gr

Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''