Ένα ολοκλήρωμα!

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ένα ολοκλήρωμα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Ιούλ 06, 2014 9:57 pm

Να υπολογιστεί το

\displaystyle{\rm J=\int_{0}^{1}(x^4-2x^3+x+1)\arcsin \sqrt{x}dx.}


Μάγκος Θάνος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ένα ολοκλήρωμα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Ιούλ 06, 2014 11:12 pm

Γεια σας. Έχω μια λύση.

Έστω \displaystyle{n\in\mathbb{N}\,,n\geq 2} . Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} I_{n}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\,x\,\rm{dx}\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}\,x\,d\,\left(-\cos\,x\right)\\&=-\left[\cos\,x\,\sin^{n-1}\,x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\,x\,\left(n-1\right)\,\sin^{n-2}\,x\,\cos\,x\,\rm{dx}\\&=\left(n-1\right)\,\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}\,x\,\left(1-\sin^2\,x\right)\,\rm{dx}\\&=\left(n-1\right)\,I_{n-2}-\left(n-1\right)\,I_{n}\end{aligned}}

οπότε : \displaystyle{I_{n}=\dfrac{n-1}{n}\,I_{n-2}\,,n\geq 2} με

\displaystyle{I_0=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\rm{dx}=\dfrac{\pi}{2}} και \displaystyle{I_1\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\,x\,\rm{dx}=\left[-\cos\,x\right]_{0}^{\pi/2}=1}

Ο λόγος που ξεκίνησα με αυτά τα ολοκληρώματα φαίνεται παρακάτω.

Το ολοκλήρωμα \displaystyle{J} συγκλίνει διότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη και συνεχής στο

\displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{2}\right]} . Θέτουμε \displaystyle{t=\arcsin\,\sqrt{x}\,,t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}

και έχουμε : \displaystyle{x=\sin^2\,t\implies \rm{dx}=2\,\sin\,t\,\cos\,t\,\rm{dt}} , άρα :

\displaystyle{\begin{aligned} J&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\,\left(2\,\sin^{9}\,t-4\,\sin^{7}\,t+2\,\sin^{3}\,t+2\,\sin\,t\right)\,\cos\,t\,\rm{dt}\\&=\left[t\,\left(\dfrac{\sin^{10}\,t}{5}-\dfrac{\sin^{8}\,t}{2}+\dfrac{\sin^{4}\,t}{2}+\sin^2\,t\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\left(\dfrac{\sin^{10}\,t}{5}-\dfrac{\sin^{8}\,t}{2}+\dfrac{\sin^{4}\,t}{2}+\sin^2\,t\right)\,\rm{dt}\\&=\dfrac{3\,\pi}{5}-\frac{1}{5}\,I_{10}+\frac{1}{2}\,I_{8}-\frac{1}{2}\,I_{4}-I_{2}\end{aligned}}

όπου \displaystyle{I_2=\frac{2-1}{2}\,I_{0}=\frac{\pi}{4}\,,I_4=\frac{4-1}{4}\,I_{2}=\frac{3}{4}\,\frac{\pi}{4}=\frac{3\,\pi}{16}

\displaystyle{I_{8}=\frac{7}{8}\,I_{6}=\frac{7}{8}\,\frac{5}{6}\,I_{4}=\frac{105\,\pi}{768} και

\displaystyle{I_{10}=\frac{9}{10}\,I_{8}=\frac{945\,\pi}{7680} . Αντικαθιστώντας :

\displaystyle{J=\frac{3\,\pi}{5}-\frac{945\,\pi}{5\cdot 10\cdot 768}+\frac{105\,\pi}{2\cdot 768}-\frac{3\,\pi}{32}-\frac{\pi}{4}=\frac{3\,\pi}{10}

Υ.Γ : Στην τελευταία ισότητα έκανα τις πράξεις με το χέρι, πρέπει να πάρω bonus :D :D
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Κυρ Ιούλ 06, 2014 11:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4307
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα ολοκλήρωμα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 06, 2014 11:24 pm

Γεια σας,
ο πιο στάνταρ τρόπος είναι να θέσει κάποιος πάντως \displaystyle{u=\sqrt{x}} , να φέρει το ολοκλήρωμα σε πολυωνυμικό επί τριγωνομετρικό και να κάνει παράγοντες. Δε ξέρω αν γλιτώνει έτσι κάποιες πράξεις.

Θάνο, πώς πηγαίνει η δική σου λύση ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ένα ολοκλήρωμα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιούλ 07, 2014 12:44 am

Tolaso J Kos έγραψε:Γεια σας,
ο πιο στάνταρ τρόπος είναι να θέσει κάποιος πάντως \displaystyle{u=\sqrt{x}} , να φέρει το ολοκλήρωμα σε πολυωνυμικό επί τριγωνομετρικό και να κάνει παράγοντες. Δε ξέρω αν γλιτώνει έτσι κάποιες πράξεις.
Θάνο, πώς πηγαίνει η δική σου λύση ;
Αποστόλη, σκιαγραφώ τη λύση και αν θέλεις συμπλήρωσε τα βασικά βήματα. Κάνουμε την αλλαγή \displaystyle{x=1-u} και όταν συναντήσουμε το

\displaystyle{\arcsin \sqrt{x}+\arcsin \sqrt{1-x}} το υπολογίζουμε!


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4307
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα ολοκλήρωμα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιούλ 07, 2014 12:48 am

matha έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Γεια σας,
ο πιο στάνταρ τρόπος είναι να θέσει κάποιος πάντως \displaystyle{u=\sqrt{x}} , να φέρει το ολοκλήρωμα σε πολυωνυμικό επί τριγωνομετρικό και να κάνει παράγοντες. Δε ξέρω αν γλιτώνει έτσι κάποιες πράξεις.
Θάνο, πώς πηγαίνει η δική σου λύση ;
Αποστόλη, σκιαγραφώ τη λύση και αν θέλεις συμπλήρωσε τα βασικά βήματα. Κάνουμε την αλλαγή \displaystyle{x=1-u} και όταν συναντήσουμε το

\displaystyle{\arcsin \sqrt{x}+\arcsin \sqrt{1-x}} το υπολογίζουμε!
Να σου πω την αλήθεια, το φαντάστηκα ότι έχεις αυτή την αντικατάσταση.
Δε το κοίταξα, αλλά λέω για να το βάλει δε θα θέλει το βασικό του τρόπο, οπότε κάτι παίζει με την u=1-x.
Οκ, θα τη γράψω... κάτσε να τη δω λίγο και θα την ανεβάσω.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ένα ολοκλήρωμα!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Ιούλ 13, 2014 5:32 pm

Καλησπέρα. Μιας και πέρασε αρκετός καιρός, συμπληρώνω την απόδειξη που σκιαγράφησε ο κύριος Θάνος.

Αρχικά, θα αποδείξουμε ότι \displaystyle{f(x)=\arcsin\,\sqrt{x}+\arcsin\,\sqrt{1-x}=\dfrac{\pi}{2}} για κάθε \displaystyle{x\in\left[0,1\right]} .

Πράγματι, για κάθε \displaystyle{x\in\left(0,1\right)} ισχύει :

\displaystyle{f^\prime(x)=\left(\arcsin\,\sqrt{x}+\arcsin\,\sqrt{1-x}\right)'=\dfrac{1}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{2\,\sqrt{1-x}\,\sqrt{x}}=0} ,

οπότε υπάρχει σταθερά \displaystyle{c\in\mathbb{R}} τέτοια, ώστε \displaystyle{f(x)=\arcsin\,\sqrt{x}+\arcsin\,\sqrt{1-x}=c} για κάθε \displaystyle{x\in\left[0,1\right]} .

Για \displaystyle{x=0} παίρνουμε : \displaystyle{\arcsin\,0+\arcsin\,1=c\iff c=\dfrac{\pi}{2}} και τελικά :

\displaystyle{\arcsin\,\sqrt{x}+\arcsin\,\sqrt{1-x}=\dfrac{\pi}{2}\,,x\in\left[0,1\right]} .

Για το ολοκλήρωμα, θέτουμε \displaystyle{u=1-x\,,u\in\left[0,1\right]} και έχουμε : \displaystyle{\rm{du}=-\rm{dx}} και

\displaystyle{x^4-2\,x^3+x+1=(1-u)^4-2\,(1-u)^3+2-u=...=u^4-2\,u^3+u+1} , οπότε :

\displaystyle{J=\int_{0}^{1}\left(u^4-2\,u^3+u+1\right)\,\arcsin\,\sqrt{1-u}\,\rm{du}=\int_{0}^{1}\left(x^4-2\,x^3+x+1\right)\,\arcsin\,\sqrt{1-x}\,\rm{dx} και συνεπώς :

\displaystyle{\begin{aligned} 2\,J&=\int_{0}^{1}\left(x^4-2\,x^3+x+1\right)\,\left(\arcsin\,\sqrt{x}+\arcsin\,\sqrt{1-x}\right)\,\rm{dx}\\&=\dfrac{\pi}{2}\,\int_{0}^{1}\left(x^4-2\,x^3+x+1\right)\,\rm{dx}\\&=\dfrac{\pi}{2}\,\left[\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^2}{2}+x\right]_{0}^{1}\\&=\dfrac{\pi}{2}\,\left[\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1\right]\\&=\dfrac{\pi}{2}\,\dfrac{6}{5}\\&=\dfrac{3\,\pi}{5}\end{aligned}}

Επομένως, \displaystyle{J=\dfrac{3\,\pi}{10}} .

Αυτό είχατε κατά νου κύριε Θάνο ;


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης