Μία ανισότητα με συνημίτονα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4193
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Μία ανισότητα με συνημίτονα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Οκτ 23, 2013 11:29 pm

Έστω ακέραιος m>2. Ισχύει άραγε
\displaystyle \left( \cos x\right) ^{m}+\left( \cos x\right) \allowbreak ^{2-m}\geq 2\cos mx
για όλα τα x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right);
Δεν έχω επί του παρόντος απάντηση και γιαυτό δεν ξέρω αν είναι στον κατάλληλο φάκελο.
Για την προέλευση θα αναφερθώ αργότερα.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2518
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 01, 2013 2:05 am

Όλα δείχνουν ότι ισχύει (και μάλιστα για m πραγματικό μεγαλύτερο ή ίσο του 1), αλλά η απόδειξη -- που δεν έχω -- δεν θα είναι εύκολη ... όπως δείχνουν οι παρακάτω σκέψεις:

Η ζητούμενη ανισότητα γράφεται και ως (cos^{m-1}x)^2-2\displaystyle\frac{cosmx}{cosx}(cos^{m-1}x)+1\geq 0, οπότε, τριωνυμικώς σκεπτόμενοι, βλέπουμε ότι η ανισότητα ισχύει στην περίπτωση που η διακρίνουσα είναι μη θετική, δηλαδή cos^2mx\leq cos^2x, και επίσης στις περιπτώσεις b(m)\geq 0 και r(m)\leq 0, όπου

b(m)=cos^mx-cosmx-\sqrt{cos^2mx-cos^2x}, r(m)=cos^mx-cosmx+\sqrt{cos^2mx-cos^2x}

Κρατώντας σταθερό το x και μεταβάλλοντας το m βλέπουμε ότι άλλοτε ισχύει η b(m)\geq 0 και άλλοτε η r(m)\leq 0: στο συνημμένο γράφημα των δύο συναρτήσεων για x=0,7 και 1\leq m\leq 30 φαίνονται καθαρά (πάνω γράφημα) τα διαστήματα ισχύος της πρώτης και τα διαστήματα ισχύος της δεύτερης, όπως επίσης και τα διαστήματα (κάτω γράφημα) όπου η διακρίνουσα είναι αρνητική (και τα φανταστικά μέρη των b(m)\geq 0 και r(m)\leq 0 μη μηδενικά). (Αυτές οι 'εναλλαγές' είναι κατά την γνώμη μου τεκμήριο δυσκολίας για την ζητούμενη απόδειξη ... ενώ για αντιπαράδειγμα χρειαζόμαστε αρνητικό μπλε και θετικό κόκκινο στο πάνω γράφημα!)

Γιώργος Μπαλόγλου
Συνημμένα
crazycos.gif
crazycos.gif (21.92 KiB) Προβλήθηκε 998 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 17, 2013 1:33 pm

μια λύση

Η ιδέα είναι : τα τριγωνομετρικά σε μιγαδικούς, τους μιγαδικούς σε πολυώνυμα κι αυτά με παραγώγους

διαιρώ με \displaystyle{(cosx)^m} και χρησιμοποιώ την : \displaystyle{1/(cosx)^2=1+(tanx)^2}
θέτοντας \displaystyle{w=tanx} επειδή \displaystyle{2cosmx=2Re(cosx+isinx)^m } η αποδεικτέα γίνεται

\displaystyle{1+(1+w^2)^{m-1}\ge \frac{2Re(cosx+isinx)^m}{(cosx)^m}=2Re(1+itanx)^m=(1+iw)^m+(1-iw)^m}

ξαναθέτω
\displaystyle{f(w)=1+(1+w^2)^{m-1}-((1+iw)^m+(1-iw)^m)}

\displaystyle{f'(w)=2(m-1)w(1+w^2)^{m-2}-im((1+iw)^{m-1}-(1-iw)^{m-1})=2(m-1)w(1+w^2)^{m-2}+2mwq(w)} οπου \displaystyle{q(w)} το πηλίκο της διαίρεσης \displaystyle{\frac{A^{m-1}-B^{m-1}}{A-B},A=1+iw,B=1-iw}δηλαδή το
\displaystyle{A^{m-2}+A^{m-3}B+...+B^{m-2} }
που όπως είναι γνωστό έχει θετικούς συντελεστές
διότι γράφεται σαν άθροισμα ορων της μορφ'ης\displaystyle{(AB)^k(2Re(A^r)=(1+w^2)^k2(1-rw^2+...)}ΛΑΘΟΣ
Αφού \displaystyle{w=tanx>0} θα είναι και \displaystyle{f'(w)>0} συνεπώς \displaystyle{f(w)>f(0)=0}
συγνώμη :oops:

ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις τους τον Νίκο και τον Γιώργο και σκέφτομαι μήπως μπορεί να βοηθήσει η ανισότητα \displaystyle{AB>A+B-1}


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2518
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Δεκ 19, 2013 4:59 pm

Ας αναφέρω εδώ, συντομότατα και ημιτελέστατα, ότι με χρήση επαγωγής και κλειστού τύπου* για τα πολυώνυμα Chebyshev ... προκύπτει ότι αρκεί να δειχθεί, για 0<y<1, η παρακάτω ανισότητα (που δεν γνωρίζω αν και γιατί αληθεύει):

1+y+(-2)^my^m(1-y)^m-2y^m>\sum_{k=1}^{k=m}{\displaystyle\frac{(-1)^k2^{k+1}(m+k-1)!y^m}{(m-k)!(2k)!}[\frac{(m+1)(m+k)}{m+1-k}-my](1-y)^k

Για m=1, m=2, m=3 η παραπάνω ανισότητα ανάγεται στις ισχύουσες, για 0<y<1,

1+5y-8y^2+2y^3>0\Leftrightarrow (y-1)(2y^2-6y-1)>0,

1+y-4y^2+18y^3-20y^4+4y^5>0\Leftrightarrow (y-1)(4y^4-16y^3+2y^2-2y-1)>0,

\displaystyle1+y+6y^3-42y^4+82y^5-56y^6+8y^7>0\Leftrightarrow (y-1)(8y^6-48y^5+34y^4-8y^3-2y^2-2y-1)>0.

*cosmx=T_m(cosx) με T_m(y)=m\sum_{k=0}^{k=m}{\displaystyle\frac{(-2)^k(m+k-1)!(1-y)^k}{(m-k)!(2k)!}}

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 20-12-13: διόρθωσα την ανισότητα για m=2 και πρόσθεσα την ανισότητα για m=3

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2518
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Δεκ 22, 2013 12:12 pm

Η επαγωγή μάλλον δεν βοηθάει στο πρόβλημα αυτό. Προτιμώ, ημιτελώς και πάλι, να επεξεργαστώ την αρχική ανισότητα του Νίκου χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για το T_m (που βρήκα εδώ)^ παραγοντοποιώντας και διαιρώντας με y-1, όπου y=cosx, η ανισότητα γράφεται ως

0<1+...+y^{m-3}-y^{m-2}-...-y^{2m-3}+2my^{m-2}\sum_{k=1}^{k=m}{\displaystyle\frac{2^k(m+k-1)!(y-1)^{k-1}}{(m-k)!(2k)!}}.

Όλα δείχνουν ότι η ανισότητα αυτή ισχύει για 0<y<1, χωρίς μάλιστα να είναι ιδιαίτερα σφιχτή. Ευελπιστώ να επανέλθω, αν δεν αποτελειώσει την απόδειξη κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω τις προκύπτουσες ανισότητες για m=3, m=4, m=5:

0<1+y+7y^2+7y^3

0<1+y-y^2-y^3+15y^4+15y^5

0<1+y+y^2+y^3-9y^4-9y^5+31y^6+31y^7

[H τρίτη ανισότητα προκύπτει από αρνητική διακρίνουσα στο 1-9y^2+31y^4 (διπλή χρήση).]

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4193
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Δεκ 22, 2013 1:37 pm

Χαιρετώ όλους τους φίλους
Γιώργο
Δοκιμάζοντας, ανεπιτυχώς, διάφορα προσέκρουσα στην πολυπλοκότητα του αναπτύγματος του \cos nx. Για τις συνήθεις τεχνικές του τύπου να μεταφερθούν όλα στο α΄μέλος και να μελετηθεί η συνάρτηση ούτε λόγος.
Επίσης δεν δούλεψε κάποιο είδος επαγωγής με χρήση του αναγωγικού τύπου
\cos \left( \left( n+1\right) x\right) =\cos \left( nx\right) \cos x-\sin \left( nx\right) \sin x
Τελικά μου φάνηκε και μένα ότι η προσφυγή στα πολυώνυμα Chebyshev ήταν η πιο πρόσφορη αντιμετώπιση. Έμμεσα αυτό υποδεικνύει και η προσπάθεια του Ροδόλφου.
Είχα καταλήξει ότι αρκεί να δειχθεί ότι
y^{m}+y\allowbreak ^{2-m}\geq 2T_{m}\left( y\right) για y\in \left( 0,1\right)
δηλαδή ότι
y^{2m-2}+1\geq 2y^{m-2}\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor }\binom{m}{2k}\left( y^{2}-1\right) ^{k}y^{m-2k} για y\in \left( 0,1\right)
αλλά δεν μπόρεσα να προχωρήσω πιο κάτω. Ούτε και με την ανηγμένη μορφή
T_{n}\left( x\right) =\tfrac{n}{2}\sum\limits_{k\ =\ 0}^{\ \lfloor n/2\ \rfloor }(-1)^{k}\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.
Αισιοδοξώ ότι θα δούμε κάποια απόδειξη.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2518
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Δεκ 25, 2013 12:54 pm

gbaloglou έγραψε:Η επαγωγή μάλλον δεν βοηθάει στο πρόβλημα αυτό. Προτιμώ, ημιτελώς και πάλι, να επεξεργαστώ την αρχική ανισότητα του Νίκου χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για το T_m (που βρήκα εδώ)^ παραγοντοποιώντας και διαιρώντας με y-1, όπου y=cosx, η ανισότητα γράφεται ως

0<1+...+y^{m-3}-y^{m-2}-...-y^{2m-3}+2my^{m-2}\sum_{k=1}^{k=m}{\displaystyle\frac{2^k(m+k-1)!(y-1)^{k-1}}{(m-k)!(2k)!}}.

Όλα δείχνουν ότι η ανισότητα αυτή ισχύει για 0<y<1, χωρίς μάλιστα να είναι ιδιαίτερα σφιχτή. Ευελπιστώ να επανέλθω, αν δεν αποτελειώσει την απόδειξη κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω τις προκύπτουσες ανισότητες για m=3, m=4, m=5:

0<1+y+7y^2+7y^3

0<1+y-y^2-y^3+15y^4+15y^5

0<1+y+y^2+y^3-9y^4-9y^5+31y^6+31y^7

[H τρίτη ανισότητα προκύπτει από αρνητική διακρίνουσα στο 1-9y^2+31y^4 (διπλή χρήση).]
Συνεχίζω, χωρίς να εμβαθύνω, με τις επόμενες τρεις ανισότητες (m=6, m=7, m=8):

0<1+y+y^2+y^3+3y^4+3y^5-33y^6-33y^7+63y^8+63y^9

0<1+y+y^2+y^3+y^4+y^5+15y^6+15y^7-97y^8-97y^9+127y^{10}+127y^{11}

0<1+y+y^2+y^3+y^4+y^5-y^6-y^7+63y^8+63y^9-257y^{10}-257y^{11}+255y^{12}+255y^{13}

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2518
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Φεβ 07, 2018 2:24 am

gbaloglou έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2013 12:54 pm
gbaloglou έγραψε:Η επαγωγή μάλλον δεν βοηθάει στο πρόβλημα αυτό. Προτιμώ, ημιτελώς και πάλι, να επεξεργαστώ την αρχική ανισότητα του Νίκου χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για το T_m (που βρήκα εδώ)^ παραγοντοποιώντας και διαιρώντας με y-1, όπου y=cosx, η ανισότητα γράφεται ως

0<1+...+y^{m-3}-y^{m-2}-...-y^{2m-3}+2my^{m-2}\sum_{k=1}^{k=m}{\displaystyle\frac{2^k(m+k-1)!(y-1)^{k-1}}{(m-k)!(2k)!}}.

Όλα δείχνουν ότι η ανισότητα αυτή ισχύει για 0<y<1, χωρίς μάλιστα να είναι ιδιαίτερα σφιχτή. Ευελπιστώ να επανέλθω, αν δεν αποτελειώσει την απόδειξη κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω τις προκύπτουσες ανισότητες για m=3, m=4, m=5:

0<1+y+7y^2+7y^3

0<1+y-y^2-y^3+15y^4+15y^5

0<1+y+y^2+y^3-9y^4-9y^5+31y^6+31y^7

[H τρίτη ανισότητα προκύπτει από αρνητική διακρίνουσα στο 1-9y^2+31y^4 (διπλή χρήση).]
Συνεχίζω, χωρίς να εμβαθύνω, με τις επόμενες τρεις ανισότητες (m=6, m=7, m=8):

0<1+y+y^2+y^3+3y^4+3y^5-33y^6-33y^7+63y^8+63y^9

0<1+y+y^2+y^3+y^4+y^5+15y^6+15y^7-97y^8-97y^9+127y^{10}+127y^{11}

0<1+y+y^2+y^3+y^4+y^5-y^6-y^7+63y^8+63y^9-257y^{10}-257y^{11}+255y^{12}+255y^{13}
Φαίνεται αρχικά ότι η περίπτωση m=6 ΔΕΝ μπορεί να αποδειχθεί όπως η περίπτωση m=5, παρατηρώντας δηλαδή ότι η διακρίνουσα του 3-33y^2+63y^4 είναι αρνητική ... πολύ απλά επειδή ΔΕΝ είναι αρνητική, καθώς 33^2-4\cdot3\cdot63=111>0. Μπορούμε όμως να κάνουμε το εξής: παρατηρώντας ότι αν 63y^2\geq 33 έχουμε τελειώσει, υποθέτουμε y^2<33/63=11/21, οπότε 1\geq y^2>21/11\cdot y^4, και αρκεί πλέον να είναι αρνητική η διακρίνουσα του (3+2\cdot 21/11)-33y^2+63y^4, κάτι που ισχύει λόγω της 33^2-4\cdot (3+2\cdot 21/11)\cdot63=-6921/11<0.

Αναλόγως η περίπτωση m=7 ανάγεται στην 97^2-4\cdot (15+3\cdot 127/97)\cdot 127=-20015/97<0, ενώ η περίπτωση m=8, αναγόμενη στις 0<1+y+y^2+y^3+63y^8+63y^9-257y^{10}-257y^{11}+255y^{12}+255y^{13} και 0<2y^2+2y^3+63y^8+63y^9-257y^{10}-257y^{11}+255y^{12}+255y^{13}, απαιτεί την 257^2-4\cdot (63+2\cdot (255/257)^3)\cdot 255\approx -203,74<0.

Τα παραπάνω δημιουργούν ελπίδες επέκτασης του παραπάνω τεχνάσματος και απόδειξης της γενικής ανισότητας

0<1+...+y^{m-3}-y^{m-2}-...-y^{2m-3}+2my^{m-2}\sum_{k=1}^{k=m}{\displaystyle\frac{2^k(m+k-1)!(y-1)^{k-1}}{(m-k)!(2k)!}},

κάτι που ελπίζω να προσπαθήσω τις επόμενες μέρες.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2518
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Φεβ 07, 2018 3:10 am

Για να γελάσουμε και λίγο ... η περίπτωση m=9 ανάγεται στις

0<1+y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+y^7-17y^8-17y^9+223y^{10}+223y^{11}-641y^{12}-641y^{13}+511y^{14}+511y^{15}

και 0<4y^6+4y^7-17y^8-17y^9+21y^{10}+21y^{11}+202y^{10}+202y^{11}-641y^{12}-641y^{13}+511y^{14}+511y^{15},

με την τελευταία να προκύπτει τριωνυμικά από τις 17^2-4\cdot 4\cdot 21=-47<0 και 641^2-4\cdot 202\cdot 511=-2007<0.

[Εκεί δηλαδή που αυτό το -17 φάνηκε να καταστρέφει την στρατηγική μου ... προέκυψαν σωτήριες εξελίξεις σε άλλο μέτωπο! :D ]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης