Σελίδα 1 από 1
Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 1:08 pm
από gemar99
Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει δύο φορές την ίδια τιμή για καθε xεR.
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 2:04 pm
από R BORIS
Περιληπτική υπόδειξη
Αν η φ έχει ολικό ΜΙΝ σε 2 ακριβώς θέσεις τότε πάρε 3 διαστήματα δυο εκ των οποίων θα περιέχουν τα ολικά ΜΙΝ . Μετά με θεώρημα ενδιαμέσων τιμών καταλήγεις σε άτοπο
Το ίδιο γιά ολικό ΜΑΧ
Αν δεν έχει ολικά ακρότατα ούτε και τοπικά δείξε ότι είναι γνήσια μονότονη
Αν έχει μόνο τοπικά δείξε ότι μετά από ένα ΜΙΝ θα ακολουθεί ΜΑΧ μέσω μονοτονίας οπότε πάλι Θ. ενδιαμέσων τιμών Αν έχει μόνο ένα τοπικό δείξε ότι είναι ολικό και καταλήγεις πάλι σε αντίφαση
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 2:34 pm
από mathxl
gemar99 έγραψε:Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει δύο φορές την ίδια τιμή για καθε xεR.
Υποθέτω ότι εννοείς
Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει
κάθε τιμή της ακριβώς δύο φορές. ;;;
διορθωση
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 2:37 pm
από gemar99
Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει κάθε τιμή της ακριβώς δύο φορές.
Eυχαριστώ mathxl
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 2:41 pm
από mathxl
Την άσκηση αυτή την είχε θέση ο mathada στο παλιό μαθεμάτικα πριν ένα χρόνο και είχα απαντήσει όπως στο παρακάτω συννημένο. Η απάντηση αν θυμάμαι καλά είχε θεωρηθεί λανθασμένη, ωστόσο ανεβάζω την "τότε" απάντηση, χωρίς να την έχω επεξεργαστεί ξανά. Παρακαλώ να μου υποδείξετε το λάθος μου, αν υπάρχει
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 3:54 pm
από Demetres
mathxl έγραψε:Την άσκηση αυτή την είχε θέση ο mathada στο παλιό μαθεμάτικα πριν ένα χρόνο και είχα απαντήσει όπως στο παρακάτω συννημένο. Η απάντηση αν θυμάμαι καλά είχε θεωρηθεί λανθασμένη, ωστόσο ανεβάζω την "τότε" απάντηση, χωρίς να την έχω επεξεργαστεί ξανά. Παρακαλώ να μου υποδείξετε το λάθος μου, αν υπάρχει
Βασίλη το μόνο λάθος που βλέπω είναι η εξίσωση φ(χ) = 0 μπορεί να μην έχει καμία λύση. Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Π.χ. μπορούμε να δουλέψουμε με την συνάρτηση γ(χ) = φ(χ) - φ(0). Άλλο λάθος δεν έχω παρατηρήσει. (Αν εξαιρέσουμε βέβαια τα χβγ κ.τ.λ για τα οποία θα φωνάζει ο Αντώνης και ίσως κάποια σημεία που μπορεί κάποιος να θέλει περισσότερη δικαιολόγηση.)
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 4:09 pm
από Κοτρώνης Αναστάσιος
Καλησπέρα!
Για να παει λίγο μακρύτερα η βαλίτσα..:
1) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση
που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 3 φορές.
2) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση
που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς
φορές όπου
περιττός.
3) Ας δειχθεί ότι, αν ο
είναι άρτιος, τότε δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση
που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς
φορές.
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 9:01 pm
από mathxl
[quote="Demetres"]
Βασίλη το μόνο λάθος που βλέπω είναι η εξίσωση φ(χ) = 0 μπορεί να μην έχει καμία λύση.
Σωστά,
με μια δεύτερη ματιά μετά από ένα χρόνο έίναι εμφανές το λάθος.
Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Π.χ. μπορούμε να δουλέψουμε με την συνάρτηση γ(χ) = φ(χ) - φ(0). Oh yes
quote]
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 9:32 pm
από Mihalis_Lambrou
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Καλησπέρα!
Για να παει λίγο μακρύτερα η βαλίτσα..:
1) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση
που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 3 φορές.
2) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση
που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς
φορές όπου
περιττός.
3) Ας δειχθεί ότι, αν ο
είναι άρτιος, τότε δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση
που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς
φορές.
Επισυνάπτω συνεχή συνάρτηση που παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 3 φορές και άλλη μία που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 5 φορές. Ανάλογα ζωγραφίζουμε μία με 7, 9, ... φορές κάθε τιμή. Για 2, 4, 6, ... η κατασκευή είναι αδύνατη (η απόδειξη είναι παραλλαγή της παραπάνω για n = 2).
Φιλικά
Μιχάλης Λάμπρου
Υ.Γ.
Αν θυμάμαι καλά, είχα ξαναζωγραφίσει τέτοια f στο παλιό mathematica.
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 09, 2009 11:35 pm
από Κοτρώνης Αναστάσιος
Δάσκαλε να είσαι καλά! Με έβγαλες από τον κόπο της ζωγραφικής
Μια συνεχής συνάρτηση που παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς
φορές, όπου
περιττός, αν δεν έχω κάνει κανένα λάθος, ορίζεται ως εξής:
Θέτουμε
![\displaystyle g:\Big[0,\frac{n}{2}\Big]\to\mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cd0b293ac7e883eb1d1c456521493523.png "\displaystyle g:\Big[0,\frac{n}{2}\Big]\to\mathbb{R}")
με
![g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\in\Big[0,\frac{1}{2}\Big] \\ \\
(-1)^{j}2(x-j),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\in\Big[\frac{j}{2},\frac{(j+1)}{2}\Big]\\ \\
(-1)^{j+1}2(x-j),\,\,\,\,\, x\in\Big[\frac{(j+1)}{2},\frac{(j+2)}{2}\Big]
\end{array} \right. \qquad j=1,\ldots,n-2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b49979646ae0ba9c6f193b36115daaf9.png "g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\in\Big[0,\frac{1}{2}\Big] \\ \\
(-1)^{j}2(x-j),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\in\Big[\frac{j}{2},\frac{(j+1)}{2}\Big]\\ \\
(-1)^{j+1}2(x-j),\,\,\,\,\, x\in\Big[\frac{(j+1)}{2},\frac{(j+2)}{2}\Big]
\end{array} \right. \qquad j=1,\ldots,n-2")
και ακολούθως ορίζουμε τη ζητούμενη
θέτοντας
για κάθε
![\displaystyle x\in\Big[i\frac{n}{2},(i+1)\frac{n}{2}\Big]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8004517a29ca4f301621e85aa1b9deeb.png "\displaystyle x\in\Big[i\frac{n}{2},(i+1)\frac{n}{2}\Big]")
με
.
Παρατήρηση
Το γράφημά τσι είναι αυτό που φαίνεται στο αρχείο του Μιχάλη. Είναι πριονωτή στο διάστημα
![\displaystyle\Big[0,\frac{n}{2}\Big]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/079adee80050f7664044af0595c74a0f.png "\displaystyle\Big[0,\frac{n}{2}\Big]")
, περιττή, και στο διάστημα
![\displaystyle\Big[i\frac{n}{2},(i+1)\frac{n}{2}\Big]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f73add05e153208c35666e5407fa7b84.png "\displaystyle\Big[i\frac{n}{2},(i+1)\frac{n}{2}\Big]")
έχουμε ένα αντίγραφο του γραφήματος στο
μετατοπισμένο κατά
προς τα πάνω ή κάτω αντίστοιχα, ανάλογα με το αν
ή
.
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 10, 2009 2:12 am
από Jeronymo Simonstone
Ας δειχθεί ότι, αν ο n είναι άρτιος, τότε δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς n φορές.
Nα το προσπαθήσω για n=2...
Θεωρούμε δηλαδή πως υπάρχει μια πραγματική συνεχής συνάρτηση f που παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς δύο φορές.
Έστωσαν δύο διαφορετικά σημεία x,y τέτοια ώστε z=f(x)=f(y).
Λόγω της συνεχείας και της υπόθεσης ότι δεν μπορεί τρίτο σημείο να απεικονιστεί στο z, υπάρχουν δύο διαστήματα Χ και Υ περί τα x,y αντίστοιχα τέτοια ώστε η f να είναι 1-1 επί καθενός. Έστω Ζ η τομή των εικόνων των δυο διαστημάτων.
Η f είναι 1-1 στα διαστήματα Χ, Υ άρα εκεί υπάρχει η αντίστροφός της. Επειδή η f είναι και συνεχής, ξέρουμε από τον απειροστικό λογισμό πως θα είναι μονότονη. Η μονοτονία και η συνέχεια, απο ένα άλλο γνωστό αποτέλεσμα του απειροστικού λογισμού, μας εγγυώνται ότι και η αντίστροφη θα είναι συνεχής συνάρτηση.
Οπότε, αν περιοριστούμε στην ένωση των συνολων Χ και Y-{y}, η f είναι ένας ομοιομορφισμός του συνόλου αυτού επί του διαστήματος Ζ. Αυτό όμως είναι άτοπο καθώς το πεδίο ορισμού δεν είναι διάστημα.
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 10, 2009 9:34 am
από nkatsipis
Καλημέρα,
δείτε την άσκηση 20 κεφάλαιο 6ο στο Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό, Michael Spivak.
Παρουσάζονται όλα με την σειρά και με τις απαραίτητες υποδείξεις.
Νίκος
Re: Απλη εκφωνηση...
Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 03, 2020 12:53 am
από polysot
nkatsipis έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 10, 2009 9:34 am
Καλημέρα,
δείτε την άσκηση 20 κεφάλαιο 6ο στο
Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό, Michael Spivak.
Παρουσάζονται όλα με την σειρά και με τις απαραίτητες υποδείξεις.
Νίκος
σε εκδόσεις ΠΕΚ 2010 είναι στο κεφάλαιο 7ο, άσκηση 21 πλέον.
