Υπάρχει καμπή;
Συντονιστής: emouroukos
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Υπάρχει καμπή;
Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα στο για την οποία ισχύει και
Να αποδείξετε ότι η έχει μία πιθανή θέση σημείου καμπής.
Μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει υποχρεωτικά θέση σημείου καμπής;
Να αποδείξετε ότι η έχει μία πιθανή θέση σημείου καμπής.
Μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει υποχρεωτικά θέση σημείου καμπής;
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Υπάρχει καμπή;
Ισχύει , άρα υπάρχει πιθανό σημείο καμπής.
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ισχύει για κάθε .
Άρα το είναι θέση ολικού μεγίστου, οπότε από Fermat ισχύει .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Υπάρχει καμπή;
Δεν έχουμε πληροφορίες για τις τιμές της αριστερά του μηδενός, οπότε το παραπάνω συμπέρασμα δεν ισχύει -- προφανές αντιπαράδειγμα η (κατάλληλα τροποποιημένη για μεγάλα θετικά ).
Όπως πάντως 'δείχνει' το παραπάνω παράδειγμα, σίγουρα υπάρχουν σημεία κοιλότητας κοντά στο μηδέν: πράγματι, από ΘΜΤ ισχύει η και , οπότε λόγω των και .
Αντίστοιχα υπάρχουν σημεία κυρτότητας κοντά στο άπειρο: άμεσο από ΘΜΤ και στην περίπτωση που υπάρχει []τέτοιο ώστε [], στην αντίθετη περίπτωση η δίνει , άτοπο.
Λόγω πλέον ύπαρξης της και συνεχείας της ... συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού της .
Είναι το παραπάνω σημείο μηδενισμού της σημείο καμπής της ; Τα σημεία αρνητικότητας της και τα σημεία θετικότητας της είναι ανοικτά σύνολα (λόγω συνεχείας της ), άρα ενώσεις αριθμησίμου το πολύ σε πλήθος ανοικτών διαστημάτων. Σκέφτομαι ότι θα μπορούσαμε να έχουμε αριθμησίμου πλήθους διαστήματα αρνητικότητας με μήκη τείνοντα στο μηδέν μέχρι κάποιο σημείο και από εκεί και πέρα, ανάποδα, αριθμησίμου πλήθους διαστήματα θετικότητας με αυξανόμενα μήκη: το ΔΕΝ θα ήταν σημείο καμπής καθώς θα είχαμε άπειρα σημεία μηδενισμού της εκατέρωθεν του -- αυτά τα σημεία μηδενισμού θα 'διαχώριζαν' τα διαστήματα αρνητικότητας μεταξύ τους (το κάθε διάστημα από το επόμενο του) και, αναλόγως, θα 'διαχώριζαν' τα διαστήματα θετικότητας μεταξύ τους.
Άλλο πιθανό, πολύ απλούστερο, αντιπαράδειγμα (κάπως 'προβληματικό' και αυτό): μία συνάρτηση κοίλη στο , ευθεία αρνητικής κλίσης στο , και κυρτή στο . [Η ύπαρξη και κατασκευή μιας τέτοιας συνάρτησης -- με 'διάστημα καμπής' αντί σημείου καμπής -- φαίνεται απλή, αν όμως τεθεί θέμα ύπαρξης τρίτης παραγώγου (ή ύπαρξης όλων των παραγώγων) -- τότε τα πράγματα αλλάζουν! (Θα επαναφέρω μετά τις διακοπές αν δεν υπάρξουν πληρέστερες απαντήσεις...)]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Υπάρχει καμπή;
Κάτι δεν κατάλαβες καλά.
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο , υποχρεωτικά θα έχουμε ότι για κάθε στο , λόγω μονοτονίας και συνέχεια της πρώτη παραγώγου(αν υπήρχε ώστε , τότε λόγω συνέχειας της παραγώγου η παράγωγος θα ήταν θετική κοντά στο , άρα και γνησίως αύξουσα εκεί το οποίο είναι άτοπο.)
Άρα έχουμε για κάθε πραγματικό.
Άρα η παράγωγος έχει ολικό μέγιστο στο , το οποίο σημαίνει ότι , από Fermat.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Υπάρχει καμπή;
ΌΝΤΩΣ, το "φθίνουσα στο " το διάβασα ως "φθίνουσα στο " .... και κάτι μου λέει ότι αυτό εννοούσε ο Θανάσης, καθώς αυτό καθιστά το πρόβλημα ενδιαφέρον!stranger έγραψε: ↑Παρ Αύγ 05, 2022 7:40 pmΚάτι δεν κατάλαβες καλά.
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο , υποχρεωτικά θα έχουμε ότι για κάθε στο , λόγω μονοτονίας και συνέχεια της πρώτη παραγώγου(αν υπήρχε ώστε , τότε λόγω συνέχειας της παραγώγου η παράγωγος θα ήταν θετική κοντά στο , άρα και γνησίως αύξουσα εκεί το οποίο είναι άτοπο.)
Άρα έχουμε για κάθε πραγματικό.
Άρα η παράγωγος έχει ολικό μέγιστο στο , το οποίο σημαίνει ότι , από Fermat.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες