Να είναι συνεχής 10
Συντονιστής: emouroukos
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Να είναι συνεχής 10
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Να είναι συνεχής 10
Η (1) για δίνει , άρα η είναι 1-1 και επί.socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε (1) για κάθε
Λόγω της συνέχειας η θα είναι γνησίως μονότονη.
Από το επί βρίσκουμε ότι υπάρχει ώστε
Η (1) για δίνει (2)
Εύκολα προκύπτει ότι
Αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε από τη σχέση παίρνουμε
(3) και επειδή
(4) με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (3) και (4) έχουμε , αντίφαση
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Έστω ότι υπάρχει με , τότε , άτοπο.
Έστω ότι υπάρχει με , τότε , άτοπο.
Συνεπώς , που αληθεύει την συναρτησιακή εξίσωση.
Σπύρος Καπελλίδης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Να είναι συνεχής 10
Ας το δούμε. Αρχίζουμε με κάποιους Ισχυρισμούς.
Ισχυρισμός 1: .
Απόδειξη: Με και η δοσμένη δίνει , οπότε η είναι επί. Ειδικότερα, υπάρχει με . Με η αρχική δίνει , οπότε , και αφού , προκύπτει ότι , όπως θέλαμε
Ισχυρισμός 2: Η είναι ενέλιξη.
Απόδειξη: Άμεσο με στην δοσμένη
Ισχυρισμός 3: .
Απόδειξη Άμεσο με στην δοσμένη
Ισχυρισμός 4: Η είναι Cauchy.
Απόδειξη: Πρώτα δείχνουμε ότι για κάθε υπάρχει ώστε . Αφού η είναι επί, υπάρχει ώστε . Για αυτό το , είναι , οπότε , όπως θέλαμε. Τώρα, για κάθε , αν ο είναι τέτοιος ώστε , με και η αρχική δίνει , άρα πράγματι η είναι Cauchy
Πίσω στο πρόβλημα, με στην προκύπτει ότι και με στην έχουμε ότι , οπότε . Επίσης, με στην ίδια σχέση, έχουμε (χρησιμοποιούμε ότι η είναι Cauchy)
, άρα
.
Αντικαθιστώντας και κάνοντας τις απλοποιήσεις, προκύπτει ότι . Με σε αυτήν, έχουμε (χρησιμοποιούμε ότι η είναι Cauchy)
, και αφού
, προκύπτει ότι , το οποίο δίνει ότι .
Τέλος, είναι άμεσο ότι η ταυτοτική επαληθεύει, άρα είναι και η μοναδική λύση, δηλαδή .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Να είναι συνεχής 10
Το συγγενικό πρόβλημα:
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 84&t=71595
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 84&t=71595
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες