Μελέτη προσήμου

Συντονιστής: emouroukos

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 687
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μελέτη προσήμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιούλ 24, 2020 4:59 pm

Έστω συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} η οποία, για κάθε x\in \mathbb{R},

ικανοποιεί τη σχέση: f(x)-e^{-f(x)}=x-1.

Να μελετήσετε ως προς το πρόσημο τη συνάρτηση:

g(x)=f(x)-\ln \left ( x-1+\sqrt{x^2-2x+4} \right ),x\in\mathbb{R}.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 687
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μελέτη προσήμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιούλ 27, 2020 6:14 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1460
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μελέτη προσήμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Ιούλ 30, 2020 10:43 am

Μια λύση με πολλές πράξεις
Τα κύρια σημεία ...

Mε χρήση της συνάρτησης \displaystyle t(x)=x-{{e}^{-x}}+1, δείχνουμε ότι η \displaystyle f είναι γνησίως αύξουσα , έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το \displaystyle R και \displaystyle {{f}^{-1}}(x)=x-{{e}^{-x}}+1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\in R
Επίσης η συνάρτηση \displaystyle g(x)=\ln \left( x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right) ορίζεται στο \displaystyle R, έχει \displaystyle {g}'(x)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}}>0 , οπότε είναι γνησίως αύξουσα , άρα αντιστρέψιμη και με όρια βρίσκουμε ότι έχει σύνολο τιμών το \displaystyle R.
Ξεκινώντας από τη σχέση \displaystyle y=\ln \left( x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right) , βρίσκουμε την \displaystyle {{e}^{y}}-(x-1)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} και κατόπιν \displaystyle 3{{e}^{-y}}-(x-1)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}, οπότε \displaystyle {{g}^{-1}}(x)=\frac{{{e}^{x}}-3{{e}^{-x}}+2}{2},\,\,\,x\in R
Εύκολα δείχνουμε ότι οι \displaystyle {{g}^{-1}}(x),{{f}^{-1}}(x) είναι επίσης γνησίως αύξουσες .
Θεωρούμε την \displaystyle k(x)={{g}^{-1}}(x)-{{f}^{-1}}(x)=\frac{{{e}^{x}}-3{{e}^{-x}}+2}{2}-x-{{e}^{-x}}+1=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}-2x}{2}, \displaystyle x\in R η οποία είναι γνησίως αύξουσα με \displaystyle k(0)=0 , επομένως αν
\displaystyle \begin{array}{l} 
x > 0 \Rightarrow k(x) > 0 \Rightarrow {g^{ - 1}}(x) - {f^{ - 1}}(x) > 0 \Rightarrow {g^{ - 1}}(x) > {f^{ - 1}}(x) \Rightarrow \\ 
\\ 
 \Rightarrow {g^{ - 1}}(g(x)) > {f^{ - 1}}(g(x)) \Rightarrow x > {f^{ - 1}}(g(x)) \Rightarrow f(x) > f({f^{ - 1}}(g(x))) \Rightarrow f(x) > g(x) 
\end{array}

Ομοίως , αν \displaystyle x<0\Rightarrow f(x)<g(x)


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες