Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

kostas_zervos · #1

Με δεδομένη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

, να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) η εφαπτόμενη της C_f

σε τυχαίο σημείο της , στις παρακάτω περιπτώσεις:
Α ΟΜΑΔΑ:
α) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ , β) f(x)=x^2

, γ) $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$

Β ΟΜΑΔΑ:
α) $f(x)=\sqrt{x}$ , β) f(x)=e^x

, γ) $f(x)=\ell n x$

Γ ΟΜΑΔΑ:
α) $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ , β) $f(x)=\ell n\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ , γ) $f(x)=2x+1-\sqrt{8x+1}$

S.E.Louridas · #2

Θα ήθελα να "καταθέσω" μία γενική "μέθοδο".
Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μία καμπύλη $f:A \to {\Cal R},\quad y = f\left( x \right)$ , παραγωγίσιμη στο

και σημείο της (x_0, y_0)

και θέλουμε την κατασκευή της εφαπτομένης της στο σημείο αυτό μία γενική αντιμετώπιση είναι η εξής:
βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο αυτό και προσδιορίζουμε ένα σημείο της, έστω

διάφορο του (x_0, y_0)

. Βρίσκουμε στην συνέχεια την εξίσωση της κάθετης ευθείας στην εφαπτομένη και στο σημείο (x_0, y_0)

και προσδιορίζουμε ένα σημείο της, έστω

διάφορο του (x_0, y_0)

.
Αν με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα

γράψουμε κύκλο θα έχουμε την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη.
Η επιλογή των σημείων K,L

χρειάζεται λίγο προσοχή αφού θα πρέπει να γίνεται βέβαια με τρόπο που οι συντεταγμένες τους να αντιστοιχίζονται σε κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη ευθύγραμμα επί την αρχή τμήματα. Αν ας πούμε η εξίσωση της εφαπτομένης ήταν η $y = x + \root 3 \of 2$ , τα πράγματα δεν είναι τα πλέον «ευοίωνα».

kostas_zervos · #3

Θα ήθελα η κατασκεύη να γίνει χωρίς την εξίσωση της εφαπτομενης γιατί τότε θα ξέρουμε την κλίση της και η ευθεία θα είναι κατασκευάσιμη.

Επίσης , αν είναι δυνατόν , μέσα πό τις κατασκευές να αναδειχτεί κάποια γενική ιδιότητα που μπορούν να έχουν (στη γενικής τους μορφή) πολλές από τις παραπάνω συναρτήσεις.

Ευχαριστώ....

S.E.Louridas · #4

kostas_zervos έγραψε:Θα ήθελα η κατασκεύη να γίνει χωρίς την εξίσωση της εφαπτομενης γιατί τότε θα ξέρουμε την κλίση της και η ευθεία θα είναι κατασκευάσιμη....

Θα ήθελα να πώ ότι δεν μπορούμε πάντα να κατασκευάζουμε με κανόνα και διαβήτη μία ευθεία (με κλίση ας πούμε $\root 5 \of 2$ , διερχόμενη από την αρχή των αξόνων και με μονάδα μέτρησης δοθέν ευθύγραμμο τμήμα).

kostas_zervos έγραψε: Επίσης , αν είναι δυνατόν , μέσα πό τις κατασκευές να αναδειχτεί κάποια γενική ιδιότητα που μπορούν να έχουν (στη γενικής τους μορφή) πολλές από τις παραπάνω συναρτήσεις.
Ευχαριστώ....

Ο Μαθηματικός αυτός προβληματισμός έχει ως Άριστη στόχευση την διμόρφωση Μαθηματικής μεθόδου και για τούτο τον θεωρώ σημαντικότατο.

kostas_zervos · #5

Για την κλίση έχεις δίκιο. Δεν είναι πάντα κατασκευάσιμη.

Αυτό που θέλω να πω είναι ότι αν μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου σημείου διαφορετικού από το σημείο επαφής με κανόνα και διαβήτη , τότε κατασκευάζουμε και την εφαπτόμενη αμέσως.

Σε όλες τις παραπάνω συναρτήσεις η εφαπτόμενη είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη αν γνωρίζουμε το σημείο επαφής .

kostas_zervos · #6

Θα λύσω τα Α(α) , Α(β) .....

Α.α) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

: ask11.png (2.7 KiB) Προβλήθηκε 1576 φορές

Ανάλυση:
Η γραφική παράσταση της

είναι ημικύκλιο με κέντρο O(0,0)

και ακτίνα $\rho=1$ που βρίσκεται από τον άξονα x'x

και πάνω.
Η εφαπτόμενη του σε τχυχαίο σημέιο του Μ είναι κάθετη στην ΟΜ .
Σύνθεση:
Φέρνουμε την ΟΜ και κάθετη στην ΟΜ στο Μ και έχουμε την εφαπτόμενη.
Απόδειξη: (απλή)
Διερέυνηση Κατασκευάζεται πάντα και έχει μία λύση

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα που έχει ο κύκλος : η εφαπτόμενη να είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο επαφής.
Α.β) f(x)=x^2

: ask12.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 1576 φορές

Ανάλυση:
Η εφαπτόμενη της σε τυχαίο σημείο της M(x_o,x_0^2)

έχει εξίσωση $y=2x_0\cdot x-x_0^2$ . Για x=0

έχουμε

δηλαδή η εφαπτόμενη τέμνει τον y'y

στο

. Αν Β η προβολή του Μ στο y'y

τότε

και τα Α , Β είναι συμμετρικά ως προς το Ο.
Σύνθεση:
Φέρνουμε την προβολή Β του Μ στο άξονα y'y

και βρίκουμε το συμμετρικό Α του Β ως προς το Ο. Τότε η ΑΜ είναι η εφαπτόμενη.
Στη ειδκή περίπτωση που το Μ είναι η κορυφή της παραβολής , φέρνουμε την κάθετη στον άξονα της παραβολής στο Ο.
Απόδειξη: (αφήνεται σαν άσκηση ...)
Διερέυνηση Κατασκευάζεται πάντα και έχει μία λύση.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα που έχει η παραβολή : προβολή ενός σημείου Μ της παραβολής στον άξονά της και το σημείο τομής της εφαπτόμενης στο Μ με τον άξονά της είναι συμμετρικά ως προς την κορυφή της .

S.E.Louridas · #7

Ας μου επιτραπεί (και μόνο για λόγους πλουραλισμού) στην περίπτωση της παραβολής y=x^2

να διαπιστώσουμε ότι το σημείο $\displaystyle{(\frac{x_0}{2},0)}$ ανήκει στην αντίστοιχη εφαπτομένη y=2x_0x-x_0^2

, οπότε το ενώνουμε το σημείο αυτό (που είναι σαφώς Κατασκευάσιμο) με το

και έχουμε την κατασκευή της εφαπτομένης μας.
Θα πρέπει να επισημάνουμε πως όταν μας δοθεί στο επίπεδο που ορίζεται απο τους δύο άξονες ένα σημείο έστω

(δίκην "τελίτσας"), αυτόματα έχουμε και την Γεωμετρική κατασκευή (κανόνας και διαβήτης) των ευθύγραμμων τμημάτων OA, OB

όπου

οι προβολές του

στούς άξονες Ox,Oy

αντίστοιχα.
Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε: $M\left( {\overline {OA} ,\,\,\overline {OB} } \right).$

(*) Υπενθυμίζουμε ότι με το $\overline {OA}$ συμβολίζουμε την αλγεβρική τιμή του $\overrightarrow {OA}$ .

Λάμπρος Μπαλός · #8

kostas_zervos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 17, 2013 5:05 pm
Με δεδομένη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) η εφαπτόμενη της σε τυχαίο σημείο της
γ) $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$

: υπερβολή.png (40.84 KiB) Προβλήθηκε 1153 φορές

1. Διχοτομούμε το πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο.

2. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα την απόσταση της αρχής των αξόνων από το σημείο τομής της υπερβολής με την y=x

. (Λάθος μου που δεν έβαλα σημείο στο σχήμα).

3. Φέρνουμε τις κάθετους στα σημεία όπου ο κύκλος τέμνει τους άξονες και βρίσκουμε τα σημεία

και

, όπως φαίνεται παραπάνω.

4. Η διχοτόμος της γωνίας AMB

είναι η ζητούμενη.

Σημείωση :
Κοιτάζοντας τα επόμενα παραδείγματα, φαντάζομαι πως ο θεματοδότης εννοούσε κάτι απλούστερο.
Ας πούμε, η εφαπτομένη στο τυχαίο σημείο της $\frac{1}{x}$ τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο με τη διπλάσια τετμημένη. Ναι, νομίζω κάτι τέτοιο ήθελε. Οπότε αρκεί να ενώσουμε το

με το $(2x_{0},0)$ .

Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Re: Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Re: Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Re: Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Re: Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Re: Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Re: Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Re: Εφαπτομένη με κανόνα και διαβήτη

Μέλη σε σύνδεση