Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4285
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm

Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 21, 2020 10:25 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm
Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Εν δυνάμει όλες οι ευθείες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4285
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Μάιος 23, 2020 8:59 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:25 pm
nsmavrogiannis έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm
Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Εν δυνάμει όλες οι ευθείες.
Καλησπέρα σε όλους.
Τόλη όπως έγραψα και σε μήνυμα που σου έστειλα πριν δύο μέρες θεωρώ ότι η απάντηση σου δεν αποτελεί απάντηση στο ερώτημα.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μάιος 23, 2020 9:21 pm

Τι ακριβώς ορίζουμε ως εκθετική συνάρτηση;
Είναι η f(x)=2^x+1 εκθετική συνάρτηση ;
Δεν αντιλαμβάνομαι την ερώτηση.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4285
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Μάιος 23, 2020 10:24 pm

Christos.N έγραψε:
Σάβ Μάιος 23, 2020 9:21 pm
Τι ακριβώς ορίζουμε ως εκθετική συνάρτηση;
Είναι η f(x)=2^x+1 εκθετική συνάρτηση ;
Δεν αντιλαμβάνομαι την ερώτηση.
Υιοθετώ τον ορισμό του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας Β' Λυκείου που υπάρχει στην παράγραφο 5.1. (υποπαράγραφος "Εκθετική συνάρτηση")
Ο ορισμός επαναλαμβάνεται στο βιβλίο κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου στην παράγραφο 1.2 (υποπαράγραφος "Η εκθετική συνάρτηση f\left( x\right) =a^{x},\,\,\,0<a\neq 1").


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 24, 2020 7:58 am

nsmavrogiannis έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm
Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Απάντηση: Οι ευθείες y=mx+c με m\ne 0, \, c\le 1

Ευθύ:
Αν y=a^x,\, a>0,\, a\ne 1 και x_o πραγματικός, ας βρούμε την εφαπτομένη της στο σημείο (x_o, a^{x_o}). Εύκολα βλέπουμε ότι είναι η

\displaystyle{y=(a^{x_o}\ln a)(x-x_o)+a^{x_o}= \frac {a^{x_o}\ln a^{x_o}}{x_o}x +a^{x_o} - a^{x_o}\ln a^{x_o} } (όπου για x_o=0 εννοώ την y=(\ln a)x +1)

Για x_o=0 παίρνουμε όλες τις ευθείες y=m+1 ως εφαπτόμενες της y= e^{mx}, \, m\ne 0, οπότε ας μελετήσουμε την περίπτωση x_o\ne 0.

Θέτοντας t=a^{x_o} μελετάμε τώρα τις συναρτήσεις f(t)= a^t και g(t)=t-t\ln t με t>0. Η πρώτη έχει σύνολο τιμών (0,+\infty ). H δεύτερη έχει g'(t)=-\ln t από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι είναι αύξουσα μέχρι το t=1 και φθίνουσα από εκεί και πέρα, με σύνολο τιμών (-\infty , 1]. Από αυτά εύκολα βλέπουμε ότι ισχύουν τα m\ne 0, \, c\le 1

Αντίστροφα.

Με οδηγό τα προηγούμενα, δοθείσης μίας y=mx+c με m\ne 0, \, c\le 1, βρίσκουμε t>0 με  t-t\ln t =c ( εκτός αν c=1 που δίνει t=1 το οποίο κάνουμε χωριστά. Τα υπόλοιπα c δίνουν t\ne 1). Με αυτό το t ορίζουμε x_o από την σχέση m = \frac {t \ln t}{x_o} (για t\ne 1 δεν έχουμε πρόβλημα) και κατόπιν a από την a^{x_o}=t. Κάνουμε την περίπτωση c=1 χωριστά, αλλά αυτή είναι εύκολη και έχει γίνει στο ευθύ. Έτσι βρήκαμε την εκθετική και το σημείο x_o στο οποίο η εφαπτομένη είναι η δοθείσα.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4285
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εφαπτομένες σε γραφικές παραστάσεις εκθετικών.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Μάιος 24, 2020 11:55 pm

Γεια σας
Μιχάλη ευχαριστώ για την απάντηση.
Από μαθηματική άποψη είναι ίδια με την δικιά μου. Την γράφω γιατί, ίσως, κάποιοι συνάδελφοι την βρουν πιο κοντά με τον τρόπο που δουλεύουν στην τάξη:
Η τυχούσα εκθετική συνάρτηση a^{x} γράφεται e^{\lambda x} όπου \lambda =\ln a\neq 0 και επομένως η τυχούσα εφαπτομένη της είναι η
y=\left( \lambda e^{\lambda x_{0}}\right) x+\left( 1-\lambda x_{0}\right) e^{\lambda x_{0}}\,\,\,(1)
Οι ευθείες που δεν έχουν συντελεστή διευθύνσεως δε μπορούν να είναι εφαπτομένες της εκθετικής και επομένως μας ενδιαφέρουν ευθείες της μορφής
y=px+q\,\,\,(2)
οι οποίες είναι εφαπτομένες αν και μόνο αν υπάρχουν συμπίπτουν με κάποια από τις (1) δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχουν \lambda ,x_{0} τέτοια ώστε:
\boxed{\lambda e^{\lambda x_{0}}=p}\,\,\,\,\,\,\,\,(I) \boxed{\left( 1-\lambda x_{0}\right) e^{\lambda x_{0}}=q}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)
H (I) μας δίνει ότι τα \lambda ,p είναι ομόσημα και ότι x_{0}=\frac{1}{\lambda }\ln \left( \frac{p}{\lambda }\right) οπότε η (II) γίνεται
\left( 1-\ln \left( \frac{p}{\lambda }\right) \right) \frac{p}{\lambda }=q και επομένως θα πρέπει το q να ανήκει στο σύνολο τιμών της \left( 1-\ln t\right) t , t>0 που, με μελέτη συνάρτησης, βρίσκουμε ότι είναι το \left( -\infty ,1\right] .
Άρα πρέπει q \leq 1. Για κάθε τέτοιο q υπάρχει τουλάχιστον ένα t=\frac{p}{\lambda } και επομένως ένα \lambda οπότε και ένα x_{0}=\frac{1}{\lambda }\ln \left( \frac{p}{\lambda }\right) .
Άρα εφαπτομένες είναι οι ευθείες y=px+q, q \leq 1.
ΣΧΟΛΙΟ Κάθε ευθεία y=px+q, με 0<q < 1 είναι εφαπτομένη σε δύο εκθετικές συναρτήσεις.
exptan.png
exptan.png (75.48 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης