Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 07, 2019 7:18 pm

Δίνεται η κυρτή συνάρτηση

f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με συνεχή δεύτερη παράγωγο και

f(0)=0

Ορίζουμε την

F:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με

\displaystyle F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt,x> 0

F(0)=0

Να δειχθεί ότι η F είναι κυρτή.



Λέξεις Κλειδιά:
perpendicular
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Παρ Ιουν 28, 2013 7:31 pm

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpendicular » Τρί Ιαν 08, 2019 8:25 am

Καλημέρα Σταύρο.

Έστω x>0.Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών u:[0,1]\rightarrow R,u(t )=t x,\forall t\in [0,1].Eίναι προφανές ότι η u είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της,με u'(t)=x,\forall t \in [0,1],u(0)=0,u(1)=x και η f είναι συνεχής στο u([0,1])=[0,x],οπότε:

F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{u(0)}^{u(1)}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(u(t))u'(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(xt))xdt=\frac{1}{x}x\int_{0}^{1}f(xt)dt=\int_{0}^{1}f(xt)dt

Μέχρι τώρα δείξαμε ότι \forall x\in (0,+\infty) είναι F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt,ενώ επειδή F(0)=0=f(0),έπεται ότι F(0)=0=\int_{0}^{1}0dt=\int_{0}^{1}f(0)dt=\int_{0}^{1}f(0t)dt.

Άρα έχουμε ότι \large (*)\forall x\in [0,+\infty),F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt



Τελικά λόγω της (*) έχουμε ότι \forall x\forall y\in [0,+\infty),μεx<y και \large \forall \varrho \in [0,1]
ισχύει:



F((1-\varrho )x+\varrho y)=\int_{0}^{1}f(t((1-\varrho )x+\varrho y))dt=\int_{0}^{1}f((1-\varrho )(tx)+\varrho (ty))dt \leq \int_{0}^{1}((1-\varrho )f(tx)+(\varrho)f(ty))dt =(1-\varrho )\int_{0}^{1}f(tx)dt+\varrho\int_{0}^{1}f(ty))dt =(1-\varrho )F(x)+\varrho F(y)

(όπου η ανισότητα προκύπτει από την κυρτότητα της f)

κι ως εκ τούτου η F είναι κυρτή
τελευταία επεξεργασία από perpendicular σε Τρί Ιαν 08, 2019 1:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 08, 2019 11:09 am

perpendicular έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 8:25 am
Καλημέρα Σταύρο.

Έστω x>0.Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών u:[0,1]\rightarrow R,u(t )=t x,\forall t\in [0,1].Eίναι προφανές ότι η u είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της,με u'(t)=x,\forall t \in [0,1],u(0)=0,u(1)=x και η f είναι συνεχής στο u([0,1])=[0,x],οπότε:

F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{u(0)}^{u(1)}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(u(t))u'(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(xt))xdt=\frac{1}{x}x\int_{0}^{1}f(xt)dt=\int_{0}^{1}f(xt)dt

Μέχρι τώρα δείξαμε ότι \forall x\in (0,+\infty) είναι F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt,ενώ επειδή F(0)=0=f(0),έπεται ότι F(0)=0=\int_{0}^{1}0dt=\int_{0}^{1}f(0)dt=\int_{0}^{1}f(0t)dt.

Άρα έχουμε ότι \large (*)\forall x\in [0,+\infty),F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt



Τελικά λόγω της (*) έχουμε ότι \forall x\forall y\in [0,+\infty),μεx<y και \large \forall \varrho \in [0,1]
ισχύει:



F((1-\varrho )x+\varrho y)=\int_{0}^{1}f(t((1-\varrho )x+\varrho y))dt=\int_{0}^{1}f((1-\varrho )(tx)+\varrho (ty))dt

 \leq \int_{0}^{1}((1-\varrho )f(tx)+(\varrho)f(ty))dt

=(1-\varrho )\int_{0}^{1}f(tx)dt+(\varrho)\int_{0}^{1}f(ty))dt =(1-\varrho )F(x)+\varrho F(y)

(όπου η ανισότητα προκύπτει από την κυρτότητα της f)

κι ως εκ τούτου η F είναι κυρτή
Εφτιαξα την τελευταία σχέση ώστε να φαίνεται όπως πρέπει.

Η παραπάνω είναι μια από τις αποδείξεις που γνωρίζω.
Χρησιμοποιεί μόνο την κυρτότητα με τον κανονικό ορισμό (όχι του σχολικού)
και φυσικά δεν χρειάζεται παραγωγισιμότητα.

Υπάρχει και άλλη απόδειξη με σχολική ύλη (όχι στο πνεύμα).
Αυτή βασίζεται στο ότι μπορούμε να εκφράσουμε την
F''(x) σαν ολοκλήρωμα που περιέχει την f''(x) .
Δεν την γράφω μήπως θέλει κάποιος να την προσπαθήσει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 10, 2019 9:37 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 7:18 pm
Δίνεται η κυρτή συνάρτηση

f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με συνεχή δεύτερη παράγωγο και

f(0)=0

Ορίζουμε την

F:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με

\displaystyle F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt,x> 0

F(0)=0

Να δειχθεί ότι η F είναι κυρτή.
Η δεύτερη λύση γίνεται αποδεικνύοντας ότι

\displaystyle F''(x)=\frac{1}{x^{3}}\int_{0}^{x}f''(t)t^{2}dt,x>0

Η παραπάνω είναι από μόνη της ενδιαφέρουσα και αποδεικνύεται κάνοντας δύο
παραγοντικές ολοκληρώσεις.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Ιαν 12, 2019 6:02 pm

Καλησπέρα
Λήμμα
Το \displaystyle{\xi } του ΘΜΤ σε μια κυρτή συνάρτηση είναι αύξουσα και συνεχής συνάρτηση του χ
Βλεπε σχέσεις 69 ,70 στην εργασία μου Γεωμετρικέ συνθήκες κυρτότητας στον ΕΚΘΕΤΗ του Ν.Μαυρογιάννη

Εδώ έχουμε \displaystyle{xF(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt} \Rightarrow xF'(x)+F(x)=f(x)\Rightarrow xF'(x)=f(x)-(1/x)(x-0)f(\xi)=f(x)-f(\xi)=(x-\xi)f'(u)} Με \displaystyle{0<\xi<u<x}

τότε \displaystyle{F'(x)=(1-\xi(x) /x)f'(u)}

Έστω \displaystyle{0<x_1<x_2 \Rightarrow 1/x_1>1/x_2 \Rightarrow-1/x_1<-1/x_2 \Rightarrow -\xi(x_1)/x_1<-\xi (x_2)/x_2} λόγω του λήμματος άρα \displaystyle{1-\xi/x} αύξουσα συνάρτηση του χ και με τιμές θετικές αφού \displaystyle{\xi<x}

H \displaystyle{f'} αύξουσα αφού \displaystyle{f} κυρτή, \displaystyle{u=u(x)} αύξουσα από το λήμμα άρα η \displaystyle{f'(u)} αύξουσα

οπότε \displaystyle{F'} αύξουσα δηλαδή \displaystyle{F} κυρτή


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Ιαν 13, 2019 11:40 pm

Γενικότερα 'θα έπρεπε' ... η συνάρτηση "μέσος όρος" κυρτής σε κάποιο διάστημα συνάρτησης να είναι κυρτή στο ίδιο διάστημα ... και υποπτεύομαι ότι οι παραπάνω τεχνικές μπορούν να το αποδείξουν ... αλλά δεν βλέπω κάποιον άλλο 'προφανή' λόγο για τον οποίο θα έπρεπε να ισχύει αυτό...


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες