Γραμμική Άλγεβρα

[author52]

Καλησπέρα σας,
Στην προσπάθεια μου να προετοιμαστώ για το μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας προσπάθησα να λύσω τα παλιά θέματα της εξεταστικής. Φυσικά είχα κάποιες απορίες αναφορικά με τα θέματα και επειδή η επικοινωνία με τον καθηγητή είναι κάπως δύσκολη αν είναι εύκολο κάποιος να με βοηθήσει με κάποιες απορίες πάνω στα θέματα(επισυνάπτω pdf).Συγκεκριμένα στο θέμα 1.2 υπάρχει κάποιο τέχνασμα; και στο ερώτημα 4.2 τι ακριβώς θέλει;


Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.



Ενημέρωση:
---To νήμα έκλεισε.

[Mihalis_Lambrou]

Απαντήσεις Γραμμικής_watermark.pdfΚαλησπέρα σας,
Στην προσπάθεια μου να προετοιμαστώ για το μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας προσπάθησα να λύσω τα παλιά θέματα της εξεταστικής. Φυσικά είχα κάποιες απορίες αναφορικά με τα θέματα και επειδή η επικοινωνία με τον καθηγητή είναι κάπως δύσκολη αν είναι εύκολο κάποιος να με βοηθήσει με κάποιες απορίες πάνω στα θέματα(επισυνάπτω pdf).Συγκεκριμένα στο θέμα 1.2 υπάρχει κάποιο τέχνασμα; και στο ερώτημα 4.2 τι ακριβώς θέλει;

Υπόδειξη για το 1.2

Η θεωρία λέει ότι ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν η ορίζουσά του είναι μη μηδενική. Πρέπει πρώτα απ' όλα, λοιπόν, να σκεφτείς ποια είναι η σχέση της ορίζουσας με τις ιδιοτιμές (και αυτό είναι θεωρία). Με αυτό ως δεδομένο θα χρειαστούν οι ιδιοτιμές του Τ. Δείξε ότι αν ιδιοτιμή του , ότι το είναι ιδιοτιμή του .

Για το 4.2 δεν ξέρω να σου απαντήσω γιατί, ομολογώ, δεν καταλαβαίνω την ερώτηση. Συγκεκριμένα, δεν ξέρω τι σημαίνει "τα διανύσματα να περιστραφούν μαζί γύρω από τους άξονες."

[grigkost]

...Για το 4.2 δεν ξέρω να σου απαντήσω γιατί, ομολογώ, δεν καταλαβαίνω την ερώτηση. Συγκεκριμένα, δεν ξέρω τι σημαίνει "τα διανύσματα να περιστραφούν μαζί γύρω από τους άξονες."

Η τριάδα των διανυσμάτων αποτελεί μια βάση. Το ερώτημα έχει νόημα αν αυτή η τριάδα περιστραφεί πρώτα περί τον -άξονα, κατόπιν περί τον -άξονα και, τέλος, περί τον -άξονα. Δεν βλέπω πώς θα μπορούσε να "ερμηνευτεί" αλλιώς η, όντως, ασαφής εκφώνηση, αφού, συν τοις άλλοις, δεν αναφέρει τίποτα για γωνίες περιστροφής.
Αν είναι όπως εικάζω παραπάνω, το μόνο που μπορούμε να απαντήσουμε είναι ότι, μετά από τις περιστροφές, η τριάδα παραμένει "αναλλοίωτη".

[author52]

Η τριάδα των διανυσμάτων αποτελεί μια βάση. Το ερώτημα έχει νόημα αν αυτή η τριάδα περιστραφεί πρώτα περί τον -άξονα, κατόπιν περί τον -άξονα και, τέλος, περί τον -άξονα. Δεν βλέπω πώς θα μπορούσε να "ερμηνευτεί" αλλιώς η, όντως, ασαφής εκφώνηση, αφού, συν τοις άλλοις, δεν αναφέρει τίποτα για γωνίες περιστροφής.
Αν είναι όπως εικάζω παραπάνω, το μόνο που μπορούμε να απαντήσουμε είναι ότι, μετά από τις περιστροφές, η τριάδα παραμένει "αναλλοίωτη".

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας

[author52]

Υπόδειξη για το 1.2

Η θεωρία λέει ότι ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν η ορίζουσά του είναι μη μηδενική. Πρέπει πρώτα απ' όλα, λοιπόν, να σκεφτείς ποια είναι η σχέση της ορίζουσας με τις ιδιοτιμές (και αυτό είναι θεωρία). Με αυτό ως δεδομένο θα χρειαστούν οι ιδιοτιμές του Τ. Δείξε ότι αν ιδιοτιμή του , ότι το είναι ιδιοτιμή του .

Συνεπώς το ζητούμενο είναι να βρώ τις ιδιοτιμές του πίνακα Α και μετά να λύσω την εξίσωση ;