Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Summand · #1

Ισχύει ότι αν $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ τότε $\displaystyle{rank(I_n-BA)=rank(I_n-AB)}$ ;

sot arm · #2

Ισχύει ναι. Στοιχειώδη απόδειξη δεν μου έρχεται κατά νου απευθείας αλλά Ισχύει το ισχυρότερο, ότι οι ΑΒ και ΒΑ έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο και αυτό που λες προκύπτει με το φασματικό θεώρημα άμεσα. Αυτό με τα χαρακτηριστικά προκύπτει δείχνοντάς το πρώτα και αντιστρέψιμους και το περνάς για όλους χρησιμοποιώντας την πυκνότητα των αντιστρεψίμων. Αν βρω χρόνο θα γράψω και την απόδειξη για αυτό, πάντως φαντάζομαι θα υπάρχει κάποια πιο απλή απόδειξη.

Σχόλιο: Δεν είναι ισχυρότερο το παραπάνω , μπέρδεψα γεωμετρική πολλαπλότητα με αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 0.

#3

Summand έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 25, 2022 3:51 pm
Ισχύει ότι αν $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ τότε $\displaystyle{rank(I_n-BA)=rank(I_n-AB)}$ ;

Ενδιαφέρον. Ομολογώ ότι δεν ήξερα το αποτέλεσμα, ούτε το βρήκα σε κανένα από τα βιβλία Γραμμικής Άλγεβρας που έχω. Αντίθετα ήξερα για κάτι παρεμφερές ότι εν γένει $rank(AB)\ne rank(BA)$ , δηλαδή το αντίθετο με το εδώ αποδεικτέο. Θα παρακαλέσω τον Summand να μας πει που βρήκε την άσκηση.

Γράφω μία κάπως ανορθόδοξη απόδειξη καθώς δεν βρήκα κάτι ευκολότερο. Πιστεύω πάντως ότι κάποια απόδειξη θα υπάρχει με το "rank-nullity theorem" εδώ. Ποιος ξέρει...

Θα κάνω χρήση των εξής δύο σχεδόν προφανών θεωρημάτων για $n\times n$ πίνακες A, B

.

α) Αν $P,\,Q$ αντιστρέψιμοι, τότε rank(A) = rank (PAQ)

β) O $2n\times 2n$ πίνακας $\displaystyle{ \begin{pmatrix} A& 0\\ 0& B \end{pmatrix}}$ έχει τάξη rank(A)+rank(B)

Aπό το β) αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{rank \begin{pmatrix} I-AB& 0\\ 0& I \end{pmatrix}= rank \begin{pmatrix} I-BA& 0\\ 0& I \end{pmatrix} }$

Αυτό θα το πετύχουμε, από το α), αν δείξουμε ότι

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} I-AB& 0\\ 0& I \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} I-BA& 0\\ 0& I \end{pmatrix} Q}$ για κάποιους αντιστρέψιμους $P,\, Q$ .

Πράγματι (αφήνω τις άμεσες πράξεις), μπορούμε να πάρουμε

$\displaystyle{P= \begin{pmatrix} A& I-AB\\ -I& B \end{pmatrix} }$ και $\displaystyle{ Q= \begin{pmatrix} B& -I\\ I- AB& A \end{pmatrix} }$

των οποίων οι αντίστροφοι είναι (ελέγχουμε)

$\displaystyle{P^{-1}= \begin{pmatrix} B& BA-IΙ\\ I& A \end{pmatrix} }$ και $\displaystyle{ Q^{-1}= \begin{pmatrix} A& I\\ BA-I& B \end{pmatrix} }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 12:13 am

Summand έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 25, 2022 3:51 pm
Ισχύει ότι αν $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ τότε $\displaystyle{rank(I_n-BA)=rank(I_n-AB)}$ ;
Ενδιαφέρον. Ομολογώ ότι δεν ήξερα το αποτέλεσμα, ούτε το βρήκα σε κανένα από τα βιβλία Γραμμικής Άλγεβρας που έχω. Αντίθετα ήξερα για κάτι παρεμφερές ότι εν γένει $rank(AB)\ne rank(BA)$ , δηλαδή το αντίθετο με το εδώ αποδεικτέο. Θα παρακαλέσω τον Summand να μας πει που βρήκε την άσκηση.

Γράφω μία κάπως ανορθόδοξη απόδειξη καθώς δεν βρήκα κάτι ευκολότερο. Πιστεύω πάντως ότι κάποια απόδειξη θα υπάρχει με το "rank-nullity theorem" εδώ. Ποιος ξέρει...

Για σου Μιχάλη.
Δεν το έχεις δει γιατί συνήθως ζητάνε ότι έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό.
Υπάρχει στο βιβλίο
Εισαγωγή στην Γραμμική Αλγεβρα τόμος Β
Δ.Βάρσος ,Δ.Δεριζιώτης κλπ
Ειναι στην άσκηση 18 σελ 54 στην πρώτη έκδοση.

Πράγματι υπάρχει απλή λύση.
Θέλουμε να δείξουμε ότι
dim Ker (I-AB)=dim Ker (I-BA)

Αν
$x\in Ker (I-BA)\Rightarrow BAx=x\Rightarrow ABAx=Ax\Rightarrow Ax\in Ker (I-AB)$

Αν $x_{i}\in Ker(I-BA)$ και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε και τα $Ax_{i}$ είναι

Πράγματι

$\sum \lambda _{i}Ax_{i}=0\Rightarrow \sum \lambda _{i}BAx_{i}=0\Rightarrow \sum \lambda _{i}x_{i}=0\Rightarrow \lambda _{i}=0$

Αρα είναι

$dim Ker (I-AB)\geq dim Ker (I-BA)$

Ομοια δειχνεται και η ανάποδη.

Να σημειώσω ότι στην ουσία δείξαμε ότι αν το

είναι ιδιοτιμή του

είναι και του

με την ίδια
πολλαπλότητα.
Αυτό μπορούμε να το κάνουμε και για τις άλλες μη μηδενικές ιδιοτιμές .
Ετσι αν έχουν και το

ιδιοτιμή θα έχει την ίδια πολλαπλότητα.
Συμπεραίνουμε ότι έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυμα.

Εγιναν κάποιες διορθώσεις.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 12:14 pm

Δεν το έχεις δει γιατί συνήθως ζητάνε ότι έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό.

Στην wikipedia έχει και όνομα https://en.wikipedia.org/wiki/Weinstein ... n_identity

min## · #6

Εναλλακτικά αρκεί να δείξουμε ότι $rank(I_{n}-PAQQ^{-1}BP^{-1})=rank(I_{n}-Q^{-1}BP^{-1}PAQ)$ για κάποιους αντιστρέψιμους P,Q

της αρεσκείας μας (αυτό γιατί οι μέσα πίνακες είναι όμοιοι στους $I_{n}-AB,I_{n}-BA$ ). Θέτουμε $X=PAQ,Y=Q^{-1}BP^{-1}$ και επιλέγουμε τους P,Q

να φέρνουν τον

σε μπλοκ $I_{r}\oplus O_{n-r}$ οπότε το ζητούμενο είναι λίγο πολύ άμεσο.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 12:13 am
Θα παρακαλέσω τον Summand να μας πει που βρήκε την άσκηση.

Summand, χάθηκες.

Παρατηρώ ότι έχεις μπει στο φόρουμ μετά το παραπάνω, αλλά σιωπάς. Υπάρχει κάποιος λόγος;

Summand · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 29, 2022 2:51 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 12:13 am
Θα παρακαλέσω τον Summand να μας πει που βρήκε την άσκηση.
Summand, χάθηκες.

Παρατηρώ ότι έχεις μπει στο φόρουμ μετά το παραπάνω, αλλά σιωπάς. Υπάρχει κάποιος λόγος;

Καλησπέρα από το όμορφο Palic της Σερβίας, πριν μερικές ώρες ολοκληρώθηκε ο διαγωνισμός SEEMOUS.

Ο λόγος που δεν απάντησα είναι ότι συνδέθηκα για να ανατρέξω σε παλιά θέματα του διαγωνισμού και δεν βρήκα χρόνο να ασχοληθώ με τις ειδοποιήσεις. Επίσης το internet είναι κακό στο ξενοδοχείο και η το internet στο κινητό υπερχρεώνεται.

Η απορια προέκυψε από ένα πρόβλημα της shortlist του 21, κάτι παρόμοιο εμφανίστηκε και στη shortlist του 20 και μετά στο βιβλίο του Zhang για θεωρία πινάκων, από όπου υπάρχουν αποδείξεις παρόμοιες με τις προαναφερόμενες, γι' αυτό και δεν άνοιξα ξανά το post

Από ότι φαίνεται μαλλον μάντεψα και τα φετινά θέματα, μιας και στο 1 χρειαζόταν η συγκεκριμένη ισότητα.

#9

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 29, 2022 9:33 pm

Καλησπέρα από το όμορφο Palic της Σερβίας, πριν μερικές ώρες ολοκληρώθηκε ο διαγωνισμός SEEMOUS.

Ο λόγος που δεν απάντησα είναι ότι συνδέθηκα για να ανατρέξω σε παλιά θέματα του διαγωνισμού και δεν βρήκα χρόνο να ασχοληθώ με τις ειδοποιήσεις. Επίσης το internet είναι κακό στο ξενοδοχείο και η το internet στο κινητό υπερχρεώνεται.

Η απορια προέκυψε από ένα πρόβλημα της shortlist του 21, κάτι παρόμοιο εμφανίστηκε και στη shortlist του 20 και μετά στο βιβλίο του Zhang για θεωρία πινάκων, από όπου υπάρχουν αποδείξεις παρόμοιες με τις προαναφερόμενες, γι' αυτό και δεν άνοιξα ξανά το post

Από ότι φαίνεται μαλλον μάντεψα και τα φετινά θέματα, μιας και στο 1 χρειαζόταν η συγκεκριμένη ισότητα.

Ευχαριστούμε θερμότατα για τις πληροφορίες.

Από ότι αντιλαμβάνομαι, συμμετέχεις στον SEEMOUS. Σου εύχομαι καλά αποτελέσματα. Ακόμη καλύτερα εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλες τις Ελληνικές και Κυπριακές ομάδες.

Επίσης, παρακαλώ να διαβιβάσεις τα χαιρετίσματά μου στους συνοδούς συναδέλφους. Δεν γνωρίζω ποιοι είναι φέτος, αλλά σίγουρα ξέρω μερικούς από αυτούς, Έλληνες ή αδελφούς Κυπρίους.

#10

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 29, 2022 9:33 pm
Η απορια προέκυψε από ένα πρόβλημα της shortlist του 21

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 12:13 am
Γράφω μία κάπως ανορθόδοξη απόδειξη καθώς δεν βρήκα κάτι ευκολότερο. Πιστεύω πάντως ότι κάποια απόδειξη θα υπάρχει με το "rank-nullity theorem" εδώ. Ποιος ξέρει...

Ήμουν υπεύθυνος του Problem Solving Committee της SEEMOUS του 2021. Δεν γνώριζα τη συγκεκριμένη σχέση αλλά φαίνεται ότι στους Ρουμάνους που συμμετέχουν είναι γνωστή. Η σχέση ήταν χρήσιμη μάλιστα σε δύο προβλήματα της shortlist του 2021. Το ένα από τα δύο (το LA6) μετά από κάποια σκέψη ήταν ισοδύναμο με αυτή τη σχεσή. Στο άλλο (το LA9) υπάρχουν τρεις αποδείξεις για τη σχέση. Δύο που μου έστειλαν αυτοί που το πρότειναν και μία δική μου. Η δική μου ήταν παρόμοια με του Σταύρου. Από αυτές των Ρουμάνων η μία ήταν παρόμοια με του Μιχάλη. Η άλλη χρησιμοποιούσε το rank-nullity theorem αλλά στην εξής γενίκευση:

$\mathrm{rank}(B) = \mathrm{rank}(AB) + \dim(\ker(A)\cap \mathrm{Im}(B))$

Για A = I-YX

και

, επειδή το $\ker(I-YX)$ περιέχεται στο $\mathrm{Im}(Y)$ (εύκολο) παίρνουμε

$\displaystyle \mathrm{rank}(Y) = \mathrm{rank}(Y-YXY) + n - \mathrm{rank}(I-YX)$

Για A = Y

και

, επειδή το $\ker(Y)$ περιέχεται στο $\mathrm{Im}(I-XY)$ (εύκολο) παίρνουμε

$\displaystyle \mathrm{rank}(I-XY) = \mathrm{rank}(Y-YXY) + n - \mathrm{rank}(Y)$

Από τα πιο πάνω προκύπτει το ζητούμενο.

Προσθήκη αργότερα: Η γενίκευση είναι άμεση εφαρμόζοντας το rank-nullity theorem στον μετασχηματισμό $f:V \to \mathbb{R}^n$ όπου $V = \{Bx: x \in \mathbb{R}^n\}$ και f(v) = Av

.

Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Re: Ιδιότητα βαθμού πίνακα

Μέλη σε σύνδεση