Ισόπλευρο τρίγωνο

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι ένα τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν

$\displaystyle{\left ( \sin \mathrm{B} + \sin \Gamma \right )^2 = \cos 2 \mathrm{A} + \frac{7}{2}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 19, 2022 10:30 pm
Να δειχθεί ότι ένα τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν

$\displaystyle{\left ( \sin \mathrm{B} + \sin \Gamma \right )^2 = \cos 2 \mathrm{A} + \frac{7}{2}}$

Η δοσμένη σχέση γράφεται: $\displaystyle {\left( {\frac{{b + c}}{{2R}}} \right)^2} = 1 - 2{\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} + \frac{7}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 18{R^2} = 2{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2bc \le 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 9{R^2}$

που αποδεικνύει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Το αντίστροφο είναι απλό).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ας το δούμε με καθαρή τριγωνομετρία και τριώνυμο.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος και του διπλασίου τόξου γράφεται

διαδοχικά

$(2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2})^2=2(\cos A)^2+\frac{5}{2}$

$(2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2})^2=2(2(\cos \frac{A}{2})^2-1)^2+\frac{5}{2}$

$8(\cos \frac{A}{2})^4-4(\cos \frac{A}{2})^2(2+(\cos \frac{B-C}{2})^2)+\frac{9}{2}=0$

Εχουμε τριώνυμο.Η διακρίνουσα πρέπει να είναι μη αρνητική.
Αυτό δίνει B=C

και μετά

Αρα είναι ισόπλευρο.

Ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση