Είδος τριγώνου

Tolaso J Kos · #1

Ζητείται το είδος του τριγώνου $\mathrm{AB}\Gamma$ του οποίου οι πλευρές $\alpha, \beta, \gamma$ ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\frac{\alpha - \gamma}{\alpha + \gamma}} + \sqrt{\frac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta}}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{\alpha + \gamma}{\alpha - \gamma}} + \sqrt{\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}}} = 1}$

#2

Kαλημέρα σε όλους. Φαντάζομαι θα υπάρχει και κάτι ταχύτερο.

Έστω ότι υπάρχει τέτοιο τρίγωνο με πλευρές a, b, c, a>b>0, a>c>0

.

$\displaystyle \sqrt{\frac{\alpha -\gamma }{\alpha +\gamma }}=\kappa \Rightarrow \sqrt{\frac{\alpha +\gamma }{\alpha -\gamma }}=\frac{1}{\kappa },\ \ \ \sqrt{\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}=\lambda \Rightarrow \sqrt{\frac{\alpha +\beta }{\alpha -\beta }}=\frac{1}{\lambda }$

Η ισότητα γράφεται $\frac{1}{\kappa +\lambda }-\frac{1}{\frac{1}{\kappa }+\frac{1}{\lambda }}=1\Leftrightarrow \frac{1-\kappa \lambda }{\kappa +\lambda }=1\Leftrightarrow \kappa +\lambda =1-\kappa \lambda$

$\Leftrightarrow {{\kappa }^{2}}+{{\lambda }^{2}}+4\kappa \lambda =1+{{\kappa }^{2}}{{\lambda }^{2}}$ (εφόσον τα μέλη της ισότητας είναι θετικοί αριθμοί)

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\alpha -\gamma }{\alpha +\gamma }+\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }+4\sqrt{\frac{\alpha -\gamma }{\alpha +\gamma }\cdot \frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}=1+\frac{\alpha -\gamma }{\alpha +\gamma }\cdot \frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$

που οδηγεί (μετά από πράξεις) στην ισότητα

$\displaystyle \beta \gamma =\sqrt{\left( \alpha -\beta \right)\left( \alpha +\beta \right)\left( \alpha -\gamma \right)\left( \alpha +\gamma \right)}\Leftrightarrow {{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}}=\left( {{\alpha }^{2}}-{{\beta }^{2}} \right)\left( {{\alpha }^{2}}-{{\gamma }^{2}} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow {{\alpha }^{4}}-{{\alpha }^{2}}{{\beta }^{2}}-{{\alpha }^{2}}{{\gamma }^{2}}=0\Leftrightarrow {{\alpha }^{2}}={{\beta }^{2}}+{{\gamma }^{2}}$ , που σημαίνει ότι $\displaystyle \widehat { A }=90{}^\circ$

Είδος τριγώνου

Είδος τριγώνου

Re: Είδος τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση